CHAPITRE III. — COUR MES PLANES PARTICULIÈRES. t

Le triangle infiniment pelil MM M, doit donc être considéré

comme isoscèle, et les angles M M , M' <le ce triangle ont des limites exiles; la tangente à La cycloide est donc également inclinée sur la direction OX el sur la tangente MT au cercle; cette tangente passe donc par le point B, milieu <\v l'arc MB M2 ; la normale passe par conséquent au point A; donc : la normale en un /joint de la cycloide passe par le point de contact du cercle mobile et de la droite fixe.

Remarque. — Il résulte de là que les points 0, 0| sont des points de rebroussement.

3° Courbure de la cycloide. Développée. — Décrivons un cercle symétrique du premier par rapport au point A, et soit P le point d'intersection avec la normale prolongée MA de la cycloide; menons la tangente KY au second cercle, parallèlement à X'X et soit H le point où cette droite coupe l'axe SI de la boucle considérée. On a les égalités évidentes :

arc KP = Tza — arc AP = iza — arc AM, arcKP = 01 — OA = Hk.

Or le point H est fixe; le lieu du point P esi donc une cycloide ayant pour base Y'Y et pour point de rebroussement H.

Or la tangente à cette seconde cycloide, devant passer par le point du cercle générateur le plus éloigné de la base, sera précisément la droite PA, c'est-à-dire la normale à la première; cette seconde cycloide est donc l'enveloppe des normales de la première, ou, en d'autres termes, la développée ; le rayon de courbure en M étant égal à MP est le double de la normale en A ; d'où l'on conclut le théorème suivant :

Théorème. — Le rayon de courbure de la cycloide est égal au double de la normale, et dirigé dans le même sens; la développée est une seconde cycloide égale à la première et ayant pour sommets les points de rebroussement de celle-ci.

4" Rectification et quadrature. -- L'arc de cycloide OP est égal au segment rectiligne MP d'après la théorie générale des développées; il est donc égal au double de AP; cette propriété, transportée à la développante, montre que l'arc SM est le double du

î 2 PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

segment BM. Donc, l'arc de cycloïde, compris entre le sommet et un point quelconque de la courbe, est égal au double de la tangente en ce point comptée du point de contact jusqu'à la tangente au sommet.

Si le point M vient en 0, MB devient égal au diamètre la du cercle mobile ; lare SO a donc pour longueur \a ] donc la longueur d'une boucle entière est égale à huit fois le rayon du cercle mobile. Pour effectuer la quadrature, considérons le point de concours L de la normale MA et de la normale infiniment voisine M'A.'; les deux triangles LAA', LMM' avant en commun l'angle L,

■ ii ■ , , LA. LA.' -ii i- • î

le rapport de leurs aires est égal a > il a donc pour limite -

et l'aire du triangle ALA' est équivalent au tiers du quadrilatère curviligne AA'MM'; on en conclut que les aires des triangles curvilignes finis OMA, QAP sont dans le rapport de 3 à î ; il suffit, pour s'en rendre compte, de les décomposer en éléments correspondants. De là se déduit la solution de n'importe quelle question de quadrature ; cherchons par exemple l'aire de la demi-boucle OSI ; cette aire sera égale aux trois quarts d'un rectangle de base OT = iua

et de hauteur SI = ia ; elle a donc pour valeur - -a-] donc, enfin,

l'aire d'une boucle entière de la cycloïde est égale à trois fois l'aire du cercle mobile.

16. Épicycloïdes. — • Considérons encore l'épicycloïde, c'est-àdire la courbe engendrée par un point d'un cercle mobile qui roule sans glisser sur un cercle fixe. Soient A, B les centres du cercle mobile et du cercle fixe, a, b leurs rayons; le contact peut être extérieur (fig. 17) ou intérieur (Jig. 16). Pour construire la courbe par points, prenons sur le cercle B \\n point fixe (3, décrivons un cercle de rayon a tangent au cercle fixe en un point variable I'. puis portons sur ce cercle, du point P vers le point O, un arc PM de même longueur que l'arc PO ; le point M sera un point de l'épicycloïde.

La forme de la courbe résulte immédiatement de sa définition ; elle se compose d'une suite de boucles ('gales, telles que 00', donl chacune commence où se termine la précédente; la longueur constante de l'arc OO'esl égale à \>.~a: le roulement du cercle mobile pouvant s'effectuer soit de ( ) vers < ) . soit de ()' \ ers ( ), la boucle ( )( )'