CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES

est s\ métrique par rapporta la bissectrice de V angle OBO'. Pour que I épicycloïde se ferme ou, en d'autres termes, soit formée d'un

nombre fini de boucles, il faut et il suffit que le rapporl — suit

commensurable. On peut convenir de Considérer ce rapport comme

Fig. 16.

positif ou négatif suivant que le contact entre les deux cercles est extérieur ou intérieur ; cela revient à désigner para le vec-

leur P A dans la direction BP.

i" Double génération de Vépicyclo'ide. — Chaque point tel

Fig. i-.

que M peut être construit à laide d'un autre cercle mobile; menons, en effet, une droite BA,, égale et parallèle à AMet de même sens et décrivons, de A, comme centre, un cercle passant par iVI ; ce cercle dont le rayon est constant et égal à (b — a) ( fig. if)) ou à {b -\-d) (fig. i 7 ) touche le cercle fixe en un point P, ; les trois

ii PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

arcs 1*1*, , PM, l\ M sont semblables, puisqu'ils mesurent sur les

cercles dont ils font partie un même angle PBP, ; ils sont donc proportionnels à leurs rayons et l'on a par conséquent

arcPP, = arc P, M zp arc PM ;

et comme, par définition, l'arc PM est égal à lare PO, on voit que les arcs P,M et P|0 sont égaux; l'épicycloïde peut donc être engendrée par le roulement d'un autre cercle mobile A, sur le même cercle fixe B. Le ravon b du cercle lixe est égal à la somme ou à la différence des rayons a et «, suivant que l'épicycloïde est intérieure ou extérieure au cercle fixe.

2" Normale. Rayon de courbure. Développée. — On peut démontrer, comme pour la cycloïde et en modifiant très peu la démonstration, que la normale en M à l'épicvcloïde passe par le

Pic. iS.

point de contact P du cercle mobile et du cercle fixe, et (pie, par suite, les points O sont des points de rebroussement. Cette proposition n'esl d'ailleurs qu'un cas particulier d'un théorème général crue nous démontrerons plus loin (§ 31"). Considérons donc cette construction de la normale comme démontrée et cherchons à eu déduire, comme nous l'avons fait pour la cycloïde, les autres propriétés de la courbe.

Pour cela, décrivons de B comme centre {fig- 18) un cercle F de rayon indéterminé b' et construisons un cercle A' qui touche le cercle fixe au point P et dont le diamètre ^<>it «gai à b — l> : les deux cercles ainsi construits se toucheront en un point P : prolongeons alors la normale MP de l'épicycloïde jusqu'au point M' où elle