CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES
coupe le cercle A'; portons enfin sur le cercle V un arc P'O' de même Longueur que l'arc P'M' et cherchons s'il est possible de déterminer b' de telle sorte que le point ()' soit fixe sur le cercle (T), lorsque le roulement s'effectue.
Le rayon BO coupe le cercle V en un point fixe w; évaluons l'arc (oC. On a la suite d'égalités
u>P'0'= arc wP'-i-'arcP'O',
wP'0'= -r arc OP -+■ arc P'M',
ù)0'= jx -f- -a'— PM' (arcOP = x\ A'P = a' |,
wU = -r- x -\- na — — arc PM = ( ) x -h iza .
Le point O' sera donc fixe, c'est-à-dire indépendant de x, si l'on a
égalités à laquelle il faut joindre b=b' -\-ia'. Ces deux équations donnent, pour a' et 6',
ab ,, 62
Il est clair que, dans ces conditions, le point M' décrira l'épicycloïde engendrée par le roulement du cercle A' sur le cercle V ; celte épicycloïde sera semblable à la proposée, à cause des égalités (il); sa normale en M' passera par le point P', elle touchera donc la droite PM au point M' : en d'autres termes, cette seconde épicycloïde sera l'enveloppe des normales de la première, et M' sera le centre de courbure de celle-ci au point INI ; et nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Théorème. — La développée cV une épicycloïde est une épicycloïde semblable à la première^ et dont les sommets coïncident avec les points de rebroussement de la développante.
Le rayon de courbure MM' est dans un rapport constant avec le segment MP = Nde la normale ; on a, en effet,
cl où
PRKMIKRK PARTI H.
GKOMKTRIK IN1TNITESIMALK.
en désignant par /> le rapport -•
.)" Propriétés métriques. Rectification. Quadrature. — Le rapport de similitude de la développée el de l'épicycloïde donnée est, d'après la formule précédente :
On déduit de là très simplement les propriétés métriques de la courbe. L'arc OM' (fi g. 18) a même longueur que le segment recliligne MM' et cette remarque permet de rectifier un arc quelconque de l'épicycloïde; si l'on veut, par exemple, avoir la lon-
gueur d'une boucle entière on remarque que, M' venant eu 0 . MM' devient égal à 2fl'+2fl ou la (i -f-K); on a donc, pour la longueur 2 / d'une boucle entière de la courbe donnée,
•il — (| +- k ) = 4 a
Dans le cas particulier de la cycloïde, b est infini, a=a', el I on retrouve bien 8<v pour la longueur totale d'une boucle. Les questions de quadrature se traitent de même ; le rapport de deux aires homologues est égal à k- ; on a de plus, en comparant (fig. 19)
CHVP1TRE lli. — COURBES PLANES PARTICULIERES. 1/
les deux triangles infiniment petits UN*', 11MM\ qui ont en commun L'angle 1 1 :
lll'P' /mP\! / k
H M M \Min ' Vi-- A d'où
ni'i"
m .m ri" ik
Les deux aires SOS', OS'K sont ainsi décomposées en éléments correspondants dont le rapport est constant, ce qui permet évidemment de résoudre un problème de quadrature quelconque.
Cherchons par exemple l'aire V comprise entre le cercle lixe et une boucle entière de l'épicycloïde ; on a évidemment sur la figure H), en appelant A! l'aire d'une boucle entière de la seconde
épicycloïde,
S étant Taire du secteur circulaire BOO,, 2' celle du secteur BOO, ; on en déduit
d'où, en remplaçant h par sa valeur (i4)>
S-UÏT-O**-^)-
D'autre part, l'aire du secteur BOO, est évidemment égale à
~ab\ on a donc
ik
d'où enfin
ik -+- 1 « 3 ii (i5j A = — 7 *«2 =
Si l'on y fait /. = î cette formule donne bien A = :>-«-, ce qui est le résultat trouvé plus haut pour le cas de la cycloïde.
4° Equations de V épicycloïde. — En projetant le contour BPAM ifig. 16-17) sur 'axe BOX et sur BY, on obtient les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe, exprimées en
fonction de l'angle OBP = t: savoir:
- =(n-Jt-\)cost — cos(n-t-i)/,
— = (n -+- i) sinZ — sini n -+-i)f.
L'élimination de t conduit à une équation algébrique entre x ely lorsque n est égal au quotient - de deux nombres entiers, et seulement dans ce cas. L'épicycloïde est alors composée de p boucles dont l'ensemble entoure q fois le cercle fixe.
Les épicycloïdes non algébriques les plus remarquables sont la cycloïde et la développante de cercle qui correspondent aux valeurs oo et o données au paramètre/*; nous signalerons, parmi celles qui correspondent à des valeurs rationnelles du nombre n, les suivantes :
a) n= — 2 {fi g' 20). Les arcs égaux PO, PM mesurent les
Fis. 20.
angles au centre OBP, MAP ; ces angles sont eu rayon inverse des
ray
ons; on a donc
OBP = -MAP = MBP.
Les trois points OMB sont en ligne droite; l'épicycloïde se réduit au diamètre fixe OO'.
b) n = — 4 ifig' 21)- Le cercle mobile roule intérieurement dans un cercle de rayon quadruple, deux points de rebroussement consécutifs comprennent entre eux un quadrant du cercle fixe :
