COURBES PLANES PARTICULIERES

MQ est la tangente à l'épicycloïde; l'angle PAM est quadruple de PBO; l'angle \< )\l est donc double de PBO et le triangle BQH

esl isoscèle ; la droite KH est donc constante et égale à b; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Uhypocycloïde à quatre rebroussemenls peut être considéré comme V enveloppe d'une droite dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires.

La proposition réciproque est exacte et se démontrerait aisément par un raisonnement analogue.

c) n= i (/ig.22). La droite Om, qui joint le point de rebrous-

FiS. 22.

sèment au point décrivant, reste parallèle à la ligne des centres des deux cercles ; la distance mM est évidemment constante et égale à ib. L'épicycloïde se réduit dans ce cas à une conchoïde très particulière du cercle fixe (cardioïde).

5° Enveloppe du diamètre \M. — Cherchons, pour terminer, l'enveloppe d'un diamètre donné du cercle mobile. L'extrémité M de ce diamètre décrit une épievcloïde (fîg. 18) dont nous supposons que O soit un point de rebroussement; considérons alors le

1>REMIEKE PARTIE

GEOMETRIE INFINITESIMALE.

cercle décrit sur PA comme diamètre et soit u. le second point où ce cercle est coupé par le diamètre AM ; ce cercle variable reste évidemment langent au cercle fixe; de plus, les arcs PM et P[x sont égaux comme mesurant, l'un, l'angle MAP dans le cercle de rayons,

l'autre, le double de ce même angle dans un cercle de rayon — ■

Les arcs Pu., PO sont, par conséquent, égaux et le lieu du pointu est une épicycloïde; la tangente à cette épicycloïde passe par le point A qui est le plus éloigné du cercle fixe; elle coïncide donc avec le diamètre mobile AM; donc ;

Théorème. — Lorsqu'un cercle mobile roule sans glisser sur un cercle fixe, chacun de ses diamètres enveloppe une épicycloïde.

17. Courbes définies en coordonnées polaires. — i° Soient (/?«•. 2.3) M, M' deux points infiniment voisins de la courbe; p, u> les coordonnées du point M; K le point d'intersection des nor-

maies en M et en M'; H le point où la normale en M rencontre le rayon vecteur du point M'; le théorème relatif à la variation de longueur d'un segment recliligne donne immédiatement les relations suivantes, où l'angle OMK est désigné par i :

dp = ds s i n i ,

dio = — coai,

laniii =

i dp

p dio