CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIERES

Les deux triangles KHM', OIIM étant opposés par le sommet II, on a, en appelant K la courbure totale de L'arc MM',

K -+- i'= i -+- doj,

d'où, pour le rayon de courbure H,

i dut di

<l8> K = —dT-

Si N et T sont les points où la normale et la tangente coupent l'axe OY de direction o> -j- -, on a, pour la normale, la tangente, la sous-normale et la sous-tangente polaires, les deux derniers segments étant comptés positivement dans la direction to-f- -»

MN =-£-,, MT = £-., ON = ptangt, OT = — p cou.

cosi suit •

Ces formules sont, comme on sait, d'un usage constant pour la construction des tangentes et des normales ; l'expression de la

sous-normale

do ON — p langi = -r-

' ° aw

montre en particulier qu'une ligne quelconque et toutes ses conchoïdes de pôle O ont une seule et même sous-normale ; en d'autres termes, les normales à deux quelconques de ces conchoïdes, en des points correspondants, se coupent sur l'axe OY.

Plus généralement, si l'on sait construire la normale à chacune des courbes fixes (C,), (C2), ••-, (C«), la formule précédente permet d'effectuer la même construction pour la courbe

(19) p = ai pi -i- ajj>»-H. . .-+- «nP/j-t- b,

ai, a2, . • ., ««, b étant des constantes quelconques.

20 Spirale logarithmique. — Parmi les courbes à l'étude desquelles convient le mieux l'emploi des coordonnées polaires, une des plus remarquables est la spirale équiangle ou spirale logarithmique, définie par la condition de couper tous ses rayons vecteurs sous un même angle. Si l'on appelle m la cotangente de

5a PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

cet angle constant, on aura, d'après les équations (17),

1 dp

d'où, en intégrant et appelant a une longueur constante,

i 20) p = a e"!Ul.

C'est l'équation de la courbe ; si l'on suppose m >> o, on voit que ;o variant de -+- x> à — oc, 0 décroît constamment depuis + oc jusqu'à o; la courbe a donc la forme représentée sur la figure 24;

Fis. 2A.

le point O est un point asymptote; on voit aussi que l'équation (20) peut se mettre sous la forme

0 = ci e""* e"lftà~ a)

d'où l'on conclut qu'à l'aide d'une rotation convenable on peut superposer la spirale donnée à toute autre spirale, de même angle et de même pôle ou, ce qui revient au même, n toute spirale homothétique de la première par rapport au pôle O. En d'autres termes :

Si un triangle OMP, constamment semblable à lui-même, varie de telle sorte que, l'un de ses sommets étant fixe, un second sommet décrive une spirale équiangle, ayant le premier pour pôle, le lieu du sommet libre est une spirale égale à la première, et de même pôle.

Les deux triangles ONM, OTM satisfont évidemment aux deux