CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES

conditions <|u on vienl d'énoncer; il en est <le même du triangle OMO', O' étant le pôle d'une spirale symétrique de la spirale donnée par rapport à la tangente MT. On retrouve, par conséquenl la courbe elle-même, orientée autrement autour de son pôle, quand on cherche le lieu de l'extrémité soit de la normale polaire, soit de la tangente polaire, ou encore le lieu du pôle d'une spirale égale qui roulerait sans glisser sur la spirale donnée. Menons encore, par le pôle O, une droite OP limitée à la tangente en M, faisant avec cette tangente un angle donné a; le triangle OM1* restant semblable à lui-même, on voit que toute podaire normale ou inclinée de la spirale relativement à son pôle est encore une spirale de même angle et de même pôle que la proposée.

Courbure de la spirale. Rectification. — La formule (18)

peut s'écrire

i cos i di i (li

ïï = ~p Tfs = inTn ~ 7h '

Si l'angle i est constant, on a Pi = MN et réciproquement; donc : \e rayon de courbure de la spirale logarithmique est égal à la normale polaire et réciproquement, toute courbe jouissant de cette propriété est une spirale logarithmique.

On en conclut que la développée coïncide avec le lieu du point M ; donc : la développée de la spirale logarithmique est une spirale de même angle et de même pôle.

De même, la première des équations (17) peut s'écrire, dans le cas où i est constant,

U = d ( —r — : ) i — ds = d( MT ).

Or, ds est la différentielle de l'arc AM compté négativement de A vers M, à partir d'un point donné A ; d'ailleurs la tangente polaire MT s'annule évidemment pour w = — x ; donc l'arc AM, prolongé jusqu'au point asymptote, a une valeur finie égale à la tangente polaire relative au point \.

L'arc AM est donc égal à la différence des tangentes polaires relatives à ses deux extrémités; on voit, de plus, que le point T décrit une développante particulière de la spirale donnée quand le point M parcourt cette dernière.

">.j PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

18. Courbes en coordonnées bipolaires. — t° Supposons une courbe définie par une relation constante entre les distances de chacun de ses points à des foyers fixes F, F,, et appliquons à rliacun de ces foyers, considéré comme pôle, les résultats précédents. Nous aurons alors, en appelant p, p, les deux rayons vecteurs d'un point M, ic la distance FF,, /et i, les angles que fait la normale en M avec les deux rayons vecteurs, et appliquant les formules (17),

(21) dp = ds sin i, dp{ — — ds sin /,, p2-H pf — 2??i, cos(î -4- i\ ) = 4 c-.

Le rayon de courbure R est donné par la formule (18) et l'on a

1 cosi di cos«[ di\

\\ p ds p 1 as

en ajoutant, on obtient la formule plus symétrique

2 cos i cos t] d( i\ — i )

R p pi ds

qui ne difïère pas de celle que nous avons obtenue directement au paragraphe 9.

20 Courbes aplatie tiques. Ovales de Descartes. — Comme première application, supposons que des rayons lumineux, émanés d'un point F {fig. 25), se réfractent sur une courbe (C) de

Pig. -b.

telle sorte que l'angle d'incidence i soit une fonction connue de l'angle de réfraction /•; l'enveloppe des rayons réfractés est ce qu'on appelle une caustique de la courbe C. S'il arrive que la caustique se réduise à un point F, on dit que la courhe (G) est aplanélique pour la loi particulière de réfraction considérée.