CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES
L'équation des courbes aplanétiques se déduit immédiatement
des formules (21). Si en efFet on prend, pour second foyer des coordonnées bipolaires, le point de concours F, des rayons réfractés, on déduit de ces formules, en faisant /, = r,
dp si 11 r ■+- rfpi sint = o ;
c'est l'équation différentielle des courbes aplanétiques. Dans le cas particulier où la réfraction suit la loi de Descartes ona sin/':=/isinr, n étant l'indice de réfraction; les courbes aplanétiques ont donc
pour équation
0 ~ n p] = const.
Ce sont des ovales de Descaries.
3° Caustiques. — Proposons-nous de trouver la caustique, ou enveloppe du rayon réfracté, par une courbe donnée (C) et pour une loi de réfraction quelconque 1 = /'(/•).
Prenons sur (C) des points infiniment voisins M, M' {/ig- 26).
Fie. 26.
Soient K le point de concours des normales en M et en M', P le point de rencontre des rayons réfractés, 0 le rayon incident FM, I la distance du point M au point correspondant de la caustique ; les deux triangles FAM, K VM' d'une part, PBM, RBM' d'autre part, nous fournissent les relations
qui peuvent s'écrire, en désignant par R le rayon de courbure
de(C),
ils . ds .. ds <ls ,
— COS« = -=r -+- dl, -r cos /• = -— ■ -+- dr.
">(') PREMIÈRE PARTIK.
d'où I on l ire
GEOMETRIE INFINITESIMAUX.
di
dr
Cette équation (a4) détermine complètement la caustique, du moment que l'on connaît la courbe (G) et la loi de réfraction.
Remarque. — Si le point lumineux est à l'infini; en d'autres termes, si les rayons incidents sont parallèles, il faudrait faire - = o dans l'équation (24), qui devient alors
,. cos/- 1 ,. , di — ; — = -rr ( di — dr ).
Supposons par exemple que la courbe dinmante soit une spirale logarithmique ayant le point lumineux pour pôle ; l'angle i est
Fis. 27.
alors constant et il en est de même de l'angle r qui, par hypothèse, est une fonction donnée de i. On a alors
Le rapport - es! donc constant, le triangle FMP a donc un angle
constant compris entre côtés proportionnels; on en déduit que la caustique d'une spirale logarithmique , pour des rayons émanés du pâle, est une seconde spirale égale à la première et de même pôle, et cela, quelle que soit la loi de réfraction.
(Il VI'ITHK III.
