COURBES PLANES PARTICULIERES

Cherchon s encore la caustique par réflexion (i + r = o) d'un cercle O pour des rayons incidents parallèles. La formule (24)5 qu'on doit appliquerici, nous donne ( fig. in )

cosi

/ = - R cos i.

Le poinl P csl donc la projection, sur le rayon réfléchi, du milieu I

deOM; autrement dit, l'angle 1PM est inscrit dans le demi-cercle de diamètre IM ; on en conclut immédiatement que, si l'on mène OH parallèle aux rayons incidents, l'arc Mil est double de l'arc IP. Si donc on décrit le cercle de centre O et de rayon Ol, les arcs III, IP sont égaux. La caustique est donc l'épicycloïde engendrée par un point d'un cercle roulant extérieurement sur un cercle de rayon double.

4" Nous donnerons, pour terminer, une autre solution, due à Quételel, du problème des caustiques. Le rayon réfracté admet une infinité de trajectoires orthogonales dont la développée commune est la caustique cherchée. Pour obtenir une de ces trajectoires, décrivons (fig- 28), du point d'incidence M comme centre

Fig. 28.

un cercle de rayon variable co( 10), w étant l'angle de FM avec une direction fixe; ce cercle aura une enveloppe T qu'il louchera en un certain point Q ; tout revient à déterminer la fonction a, de telle sorte que MO soit le rayon réfracté ou que l'angle QMN soit égala 27: — /'. On aura donc, sous ces conditions, pour exprimer la variation du vecteur MQ,

tp' ( w ) dtû = ris cos ( h /' ) = — ds sin /■,

car ce vecteur est évidemment normal à la trajectoire Tdu point Q.

On a d'ailleurs, pour la courbe (C) elle-même,

do = cl s sin i.

( )n eu conclut

sin/'

'Si ( O) ) «CO = — -: r UO '.

p est connu en fonction de 10, — — : est donné, par la loi de réfrac- 1 ' sin i l

lion, en fonction de L'angle « qui peut être déterminé lui-même en

fonction de w.

La fonction inconnue cs(to) s'obtient donc par une quadrature.

CH4PITRE IV. — CINEMATIQUE DU PLAN. il)