CHAPITRE IV

CINÉMATIQUE DU PLAN.

Mouvement, a un paramètre, d'un plan mobile sur un plan fixe. — Déplacement fini. — - Déplacement infiniment petit; centre instantané de rotation. — Déplacement continu obtenu par le roulement d'une courbe mobile

sur une courbe fixe. r.oulettes ponctuelles, roulettes

tangentielles: détermination de la normale et du centre de courbure. cercle des centres et cercle des in- FLEXIONS. — Applications.

19. Déplacement fini. — Imaginons un plan mobile P se déplaçant à la surface d'un plan fixe Q; si la position du plan P dépend d'un paramètre unique t, tout point M faisant partie du p an mobile aura pour coordonnées des fonctions de ce paramètre et, par suite, décrira dans le plan fixe une certaine courbe; de même toute ligne invariable du plan P enveloppe dans le plan Q une courbe déterminée. Proposons-nous de refaire, à ce nouveau point de vue, la théorie générale des courbes planes. Nous démontrerons d'abord la proposition suivante :

Théorème. — On peut faire passer le plan mobile d'une position P à une autre position P' par une simple rotation autour d'un point donné du plan fixe.

Soient en effet < fig. 29) A. A' les positions initiale et finale d'un point donné du plan mobile; on peut évidemment faire passer le plan tout entier de sa première position à la seconde par une translation égale et parallèle à A V suivie d'une rotation effectuée autour de A'; appelons 2 a l'angle qui mesure cette rotation. Menons en A' un axe \A perpendiculaire à AA\ et construisons

fin

l'RKMIEUK PARTIE.

(iEOMETRIE INFINITESIMALE.

BA'G= 2a qui a pour bissectrice XY. Inscrivons enfin dans cet angle les «leu\ segments rectilignes BC, DE égaux et parallèles à VA'.

Supposons que la rotation iv. doive avoir lieu dans le sens de la flèche. Cherchons la position finale B' de B considéré comme attaché au plan mobile et entraîné dans le mouvement: la translation antérieure a amené B en C, la rotation suivante l'a ramené évi-

l'ig. 29-

déminent de G en B; donc les points B et B' coïncident. Le point B n'a donc pas changé de position par l'effet des deux mouvements consécutifs; on peut donc les remplacer par une rotation unique effectuée autour de B.

Si la rotation composante avait lieu dans le sens contraire, c'esl le point I) que nous aurions trouvé pour centre de la rotation résultante.

liemaic/uc. — En fixant deux points du plan l\ on fixerait le plan lui-même; donc le centre de rotation est parfaitement déterminé; il en est de même, par conséquent, de la grandeur et du sens de cette rotation. On voit d'ailleurs sur la figure que pour amener \ en V il faut faire tourner la figure autour de B dans le sens de la

Mèche, d'un angle ÀBA' = 2 a.

Mouvement continu. Centre instantané- — Soient /. / les valeurs du paramètre correspondant aux positions extrêmes P,