CHAPITRE IV. — CINÉMATIQUE DU PLAN. 6l

I' <lu plan mobile; décomposons L'intervalle l' — t en n intervalles

partiels par des valeurs intermédiaires du paramètre t{, t, ln-\i

auxquelles correspondent les positions intermédiaires

Pi, F',. ..., P„ , du plan mobile.

On peut passer de P à P, par une rotation effectuée autour d'un centre C,, de P, à P2 par une rotation effectuée autour d'un centre Cj, de P„ , à P„ par une dernière rotation de centre C«. Ces points C,, C2, . .., C„ sont les sommets d'une ligne polygonale (L) située dans le plan fixe.

D'autre part, soient cK , cL>, ..., Cn les points de P qui viennent coïncider successivement avec C,, C2, . . . , C„ ; ces points sont les sommets d'une ligne polygonale (/), située dans le plan mobile P, les côtés correspondants des lignes (Z), ( L) sont évidemment égaux et si l'on fait rouler le polygone (l) sur le polygone (L), on conduira le plan mobile de sa position initiale à sa position finale en le faisant passer par toutes les positions intermédiaires

qu'il occupe dans le mouvement effectif.

Si nous faisons maintenant augmenter indéfiniment le nombre n de telle sorte que les intervalles th+i — tk soient infiniment petits, nos deux polygones deviendront des courbes situées l'une dans le plan P, l'autre dans le plan Q et la première se déplacera de manière à rester constamment tangente à la seconde, les arcs décrits sur les deux courbes par le point de contact étant constamment. égaux entre eux. De là le tliéorème suivant :

Thkokèmiï. — Tout déplacement continu d' un plein mobile sur un plan fixe se ramène au roulement, sans glissement, d'une courbe du plan mobile sur une courbe du plan fixe.

Soient alors (Jig. 3o) L la courbe fixe, L, la courbe mobile, K leur point de contact à l'époque l; à une époque t -f- h infiniment voisine elles se touchent en un point K.' auquel correspond sur L, un point K'(, tel que les arcs K K', K, kj soient égaux; si l'on prend h pour infiniment petit principal. IvR' est infiniment petit du premier ordre et il en est de même du déplacement d'un point quelconque du plan mobile, autre que le point k, ; quant à ce dernier point, son déplacement fait avec K.K.' un angle dont la limite n'est

égale ni à zéro, ni à tc, puisque L, roule sans glisser- sur L. Le déplacement de K, est donc du second ordre et par suite infiniment petit par rapport à celui de tout autre point du plan ; on peut donc considérer K, comme immobile pendant un temps infiniment petit et on l'appelle pour celte raison le centre instantané de rotation à l'époque /.

20. Roulettes. — On donne en général le nom de roulette à la trajectoire, dans le plan fixe, d'un point quelconque du plan mobile, ou à l'enveloppe d'une courbe invariable appartenant au plan

Pie. 3o.

mobile. La construction de la normale pour une roulette quelconque résulte du théorème suivant :

Thcorème. — La normale en un point M à la trajectoire d'un point quelconque du plan mobile, passe par le centre instantané; il en est de même pour la normale à l'enveloppe d'une ligne quelconque du plan mobile., au point de contact de cette ligne et de son enveloppe.

1° Soit M un point lié à la courbe roulante (L,) et entraîné dans son mouvement; on peut amener ce point dans la position voisine M' en lui faisant décrire une suite de petits arcs de cercles ayant pour centre les sommets successifs de la ligne polygonale qui a pour limite L; le tbéorème résulte immédiatement de celte remarque.

Ce procédé de démonstration, du à Descartes, et qui est parfaitement rigoureux, appliqué à la détermination des tangentes,