CHAPITRE IV. — CINÉMATIQUE DU PLAN. G

deviendrait insuffisant pour la recherche des centres de courbure et en général pour la solution des questions où interviendraient des infiniment petits d'ordre supérieur au premier (Duhamel, Cours d'Analyse, t. [, p. iSn. C'est pourquoi nous donnerons ici une autre démontra tion, ne présentant pas le même inconvénient. Soit K' le point de contact lorsque M s'est transporté en M : prenons sur L, un arc K^k', infiniment petit égal ;'i kk'. On peut conduire la figure de sa position actuelle à la position infiniment voisine en lui imprimant d'abord une translation égale et parallèle à la droite K, K.', ensuite une rotation (l'angle 2<x autour du point K ; le point M parcourra ainsi un chemin brisé, formé d'une partie recliligne MM, égale et parallèle à K.', K', et d'un are de cercle M, M' de centre K' et d'angle 2 a. Les deux segments MM', M, M' auront même direction limite, si nous démontrons que MM, est infiniment petit par rapport à M, M'. Or, cela est évident, car MM' est infiniment petit du premier ordre (sauf pour des valeurs exceptionnelles de t), tandis que MM,, ou K', K' est du second ordre, comme mesurant la distance de deux points correspondants de deux courbes en contact au point K.

Remarque. — Ce procédé de démonstration revient à montrer que l'effet de la translation est négligeable vis-à-vis de celui de la rotation; on peut donc regarder le mouvement infiniment petit comme une rotation effectuée autour du centre instantané ; l'angle 2 a de cette rotation est égal à la somme ou à la différence des angles de contingence des deux courbes au point K, suivant que leurs courbures sont de sens contraires ou de même sens.

2" Passons à la seconde partie du théorème. Soient (G,) une

(Cl

courbe invariable (fig. 3i) entraînée par le plan mobile, (G) son enveloppe dans le plan C\xe, M le point de contact. On peut prendre pour paramètre l'arc qui sépare le point M d'un point donné A de la courbe (C).

Quand la courbe (G,) est venue en (C',), le point de cette

courbe qui coïncidait avec M est venu en M, eu décrivant un arc de roulette dont la normale en M passe par le centre instantané; nous aurons donc démontré que la normale au même point, à la courbe enveloppe, passe par le centre instantané, si nous prouvons que MM, et MM' ont même direction limite. Or MM' est un infiniment petit du premier ordre, puisque l'arc MM' est l'accroissement même du paramètre t. Projetons M, en H sur la courbe enveloppe; M, H sera du second ordre au moins, donc infiniment petit par rapport au déplacement MM, ; donc MM, aura même direction limite que MH et, par suite, que MM', ce qu'il fallait prouver (').

Applications. — Le théorème précédent permet de construire la tangente à une roulette quelconque dans les cas, évidemment fort nombreux, où l'on peut déterminer le centre intantané, lorsque par exemple, on pourra construire des normales à deux roulettes particulières.

i° Conclioïdes. — Supposons le mouvement déterminé par le déplacement d'une tige AB de grandeurinvariable, dont la direction reste tangente à une courbe (S) et dont l'une des extrémités Adécrit une courbe fixe (S) (fig. 32). La droite indéfinie AB touchant S en un point O, le centre instantané sera situé sur la perpendiculaire menée à AB en ce point (3; d'autre part, le point A décrivant la courbe S, le centre instantané sera sur la normale à S au point A; donc ce centre C sera connu. Il suffira de le joindre à un point M lié invariablement à AB pour avoir la normale à la roulette décrite par ce point ; en projetant ce même point C sur une droite quelconque liée à AB, on aurait le point de contact de cette droite et de son enveloppe.

Si l'on suppose la courbe S réduite à un point et M en coïncidence avec B, on retrouve ici la construction donnée page 5i , pour la normale à une conchoïde quelconque.

a0 Soit Y un angle de grandeur constante dont les cotés restent tangents à deux courbes fixes; si A, B sont les points de contact, le

(') Si la courbe enveloppe (C) se réduisait à un point, la démonstration précédente serait en défaut. La proposition subsiste néanmoins, comme on le voit sans difficulté, en ce sens que la droite qui joint le point fixe au centre instantané est normale a la courbe mobile C,, en ce point fixe.

CIIAI'ITUE IV

CINEMATIQUE DU PLAN.

centre instantané sera le point de concours C des normales en A et B aux deux directrices données; si donc on sait construire ces deux normales, le problème sera résolu pour toutes les roulettes engendrées par le mouvement de L'angle V.

On peut supposer Tune des courbes réduite à un point, la rou-

Fi g.

lette particulière décrite par le point V est alors une podaire inclinée de la seconde directrice; on peut aussi supposer que ces deux

Fie. 32

directrices soient deux branches d'une même courbe. Remarquons enfin que, si l'angle V est droit, la normale à la courbe décrite par le sommet V passera au milieu de AB ; on en déduirait bien aisément que le sommet d'un angle droit dont les côtés restent tangents à une conique décrit un cercle concentrique à cette conique.

3" Courbes de Watt. — On appelle ainsi les roulettes engendrées par un point lié invariablement à une droite dont les extrémités décrivent deux cercles fixes. Dans le cas plus général, où les deux cercles seraient remplacés par des directrices quelconques, D. 5