CHAPITRE IV. — CINÉMATIQUE DU PLAN

ce point de Y, vient, après le mouvement, coïncider avec celui où la courbe r,, dans sa position finale, touche son enveloppe.

Dans ces conditions M appartiendra à cette enveloppe et l'angle R sera l'angle de contingence de l'enveloppe T. Or les deux triangles K.,C|G,. K(.(i donnent respectivement

sinKi siiiiMCi C, sinK sinMCiC

G, c, ~ kTTT; ' ce Ko' '

d'où en passant à la limite, désignant par r le vecteur CM, par G

l'angle MCO,, par R.< et li les rayons de courbures de F, et T au

point M

. cosO , , cosô

d'où, enfin, en égalant les deux valeurs de K + K.,,

(0 (ir^ + Tr^-)™*-1-*--'

La formule (i) fait connaître dans tous les cas le rayon de courbure des enveloppes et, par suite, le centre de courbure. Elle suppose les courbures de la base et de la courbe roulante dirigées en

sens contraires ; si les deux courbures -, — étaient de même sens, il

? Pi faudrait y changer p en — p. On vérifierait sans peine que cette

formule (1) s'applique à tous les cas, c'est-à-dire quelle que soit

la position relative des deux centres de courbure et du centre

instantané ; il suffît d'y remplacer /-, R et R , par trois vecteurs CK.,

Glv,, CM comptés positivement de C vers M, o et p, par deux

vecteurs CO, CO, comptés positivement de O vers C.

Roulettes ponctuelles. — Supposons que T, se réduise à un

point M attaché au plan mobile, la formule (i) devient alors, en y

faisant Pv, = o.

. cosO i i cos6

Supposons, par exemple, que la base et la courbe roulante soient des cercles et (pie le point M soit situé sur le cercle mobile, la courbe décrite par M est alors une épicycloïde. Dans ce cas, o

et pi sont constants et cos 0 = — : la formule (2) donne immé-