CHAPITRE IV. - CINÉMATIQUE DU PLAN

nelle, pour une roulette ponctuelle quelconque. Soit en effet u le point où le cercle des indexions est coupé par la normale en M à la roulette particulière considérée ; la formule (2) appliquée aux deux points mobiles M, u., correspondant à une même valeur de 6, donne

d'où

d'où

(3) M(i.MK = r>.

On peut vérifier par une discussion facile que les vecteurs Ma, MK. sont toujours de même signe, ce qui supprime toute ambiguïté dans la détermination de l'un des points u., K, l'autre étant connu.

La connaissance d'un seul point tel que K. entraîne donc celle du point a correspondant et, par suite, celle du cercle des inflexions, qui se trouvera parfaitement déterminé.

On pourra donc, à l'aide de la formule (3), construire, pour un point décrivant quelconque M', le point u.' correspondant, et la même formule (3) permettra de construire, par une troisième proportionnelle, le centre de courbure K' de la roulette décrite par M'.

Enveloppes de droites. — Revenons à la formule (1) et supposons que la courbe Y { soit une droite du plan mobile; R| est alors infini et le rayon de courbure de l'enveloppe est donné par la formule

cosO 1 i

Or, R — r est égal au vecteur KC (fig- 34), donc le lieu du point R aura pour équation en coordonnées polaires

cosO

CK

Ce lieu est un cercle dénommé cercle des centres ; il est évidemment symétrique du cercle des inflexions par rapport au centre instantané. De là le théorème suivant (Bresse, Journal de V École Polytechnique, 35e Cahier) :

Théorème. — Les centres de courbure de toutes les roulettes enveloppées par des droites du plan mobile sont, à chaque instant, repartis sur un cercle symétrique du cercle des inflexions par rapport au centre instantané, et qu'on appelle cercle des centres ou cercle des rebroussements.

Remarque. — 11 est évident que, en raison de cette symétrie, la connaissance d'un point unique de l'un ou l'autre de ces deux cercles, entraîne la connaissance complète de ces deux cercles. On voit donc, d'après le paragraphe précédent, que si l'on sait construire le centre de courbure pour une seule roulette, trajectoire d'un point ou enveloppe d'une droite, on saura résoudre le même problème pour toutes les roulettes enveloppes de droites, ou trajectoires de points. Nous remarquerons encore que si l'on se donne, sous une forme quelconque, les conditions qui déterminent le mouvement du système, il n'est nullement nécessaire, pour construire les tangentes ou les centres de courbure des roulettes, de connaître la courbe de base ni la courbe roulante ; il suffit en effet de pouvoir construire le centre instantané pour la position actuelle du système; mais il faudra résoudre le problème proposé, non plus pour une seule, mais pour deux roulettes particulières.

La méthode que venons d'exposer se prête évidemment à des applications extrêmement nombreuses et variées. Nous nous contenterons d'en indiquer quelques-unes, choisies parmi les plus intéressantes.

22. Applications. — i° Supposons le plan mobile entraîné par une tige de longueur constante dont les extrémités décrivent deux cercles fixes; les diamètres de ces deux cercles qui aboutissent aux extrémités de la tige se coupent au centre instantané ; ces deux cercles sont d'ailleurs deux roulettes dont les centres de courbure sont connus. On pourra en déduire deux points du cercle des inflexions qui se trouve ainsi complètement déterminé par ces deux points et le centre instantané.

2° Le cas où les deux cercles donnés deviennent des droites présente un intérêt particulier. Considérons une tige invariable Al> dont les extrémités décrivent les deux cotés d'un angle XO^ {fig- 36). Les perpendiculaires élevées sur OX et OY en ces deux

CHAPITHK IV

CINKMATIQUE DU PLAN. 71

points A et B se coupent en un point G cj ni est le centre instantané. Le quadrilatère ABCO est inscriptible clans un cercle de rayon constant, puisque la corde AB doit sous-tendre, dans le cercle, un angle égal à XOY. On peut donc considérer ce cercle comme faisant parti*' du plan mobile ; il constitue dans ce plan le lieu du centre instantané ou, en d'autres termes, la courbe roulante. De plus, comme les points A, B ont des trajectoires rectilignes, le cercle ABC est à la fois la courbe roulante et le cercle des

Fis. 36.

inflexions. Toutes les questions relatives aux tangentes et aux centres de courbure sont alors résolues ; si l'on envisage, par exemple, la droite AB, qui est une droite quelconque du plan mobile, elle touchera son enveloppe au point H projection de C sur AB et le centre de courbure de cette enveloppe sera, au point K, symétrique de G par rapport au centre instantané.

La distance CO étant constante, la eourbe de base est un cercle de centre O et dont le rayon est double de celui du cercle des inflexions. Le mouvement est donc engendré par un cercle qui roule sans glisser, intérieurement, dans un cercle de rayon double. Toutes les épicycloïdes engendrées par les points du cercle mobile, n'ayant que des points d'inflexion, sont des droites passant par le point fixe (). 11 résulte de laque toutes les roulettes ponctuelles sont des ellipses. Soient, en eflét, M un point quelconque du plan mobile, A, B, le diamètre du cercle (I) qui passe par le point M.

pa PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

Les trajectoires de A, B, sont, d'après ce qu'on vient de dire, des droites rectangulaires OX,, OY,.

La trajectoire de M peut être considérée comme engendrée par un point d'une tige invariable A, B, dont les extrémités décrivent des droites rectangulaires. Or on sait que le lieu de M est alors une ellipse dont les axes, égaux à 2 MA, et 2 MB,, sont dirigés suivant OX,, OY,.

3° Comme dernière application, considérons le mouvement épicycloïdal déterminé par le roulement, sans glissement, d'un cercle

Fig. 3?.

de rayon p, sur un cercle fixe de rayon p, p étant considéré comme positif ou négatif suivant que le contact est extérieur ou intérieur.

Ici, le cercle des inflexions I est facile à construire. Le point O, décrit en effet un cercle de rayon p, + p et de centre O. Le point to du cercle J, situé sur 0,0 est compris entre O et O,. On a, de plus, d'après la formule (3),

Qio)(p -4- p,) = pf,

0,co est donc, pour la disposition delà figure 3^, positif et inférieur à p,. Le centre 1 est donc situé entre C et O, et le diamètre du cercle des inflexions est égal à

-, (1 P' \ = PPi

\ p -*- pi / p-+-pt*

Si p est infini, le cercle des inflexions a un rayon deux fois moindre que le cercle roulant ; c'est le cas du mouvement cycloïdal.

Remarque. — La formule (2) (formule de Savary) est suscep-