CHAPITRE V. — COURBES GAUCHES. COURBURE ET TORSION

Remarque. — La courbure ne peut s'annuler qu'en des points particuliers; si, en effet, l'angle de contingence était identiquement nul, la tangente serait parallèle à une direction (ixe; la distance de cette tangente à un plan parallèle quelconque varierait en passant de M à M' d'une quantité infiniment petite qui sérail constamment du second ordre: celle distance serait donc constante et la courbe se réduirait à une droite.

On appelle point (V inflexion tout point où la courbure s'annule.

Normale principale. Plan rectifiant. — La courbe (C) admet au point M une infinité de normales toutes situées dans le plan perpendiculaire à MT, que nous avons appelé plan normal; considérons en particulier celle qui est parallèle à la tangente ml de l'indicatrice sphérique el ([non appelle normale principale ; nous conviendrons de prendre, pour sens positif sur cette normale MN, le sens de la tangente mt. La normale principale ainsi définie est celle que nous avons considérée, seule, dans le cas d'une courbe plane et l'on aurait pu la définir de la même manière; si nous prenons en effet deux longueurs égales MT, MT'7 sur la tangente MT et sur une parallèle à M'T', ce qui revient à placer le centre de la sphère au point M, la direction limite de TT" sera précisément celle de la normale principale ; celle-ci est donc dirigée dans la concavité de la courbe, c'est-à-dire du même côté que le point M', par rapport au plan mené par MT perpendiculairement à MN(fig. 40-

Ce dernier plan, qu'on nomme plan rectifiant, est représenté sphériquement par l'arc de grand cercle mil, normal en m à l'indicatrice des tangentes {fig- 42)-

Cercle de courbure . — Le cercle de courbure se définit comme pour les courbes planes. On porte sur la normale principale, dans le sens positif, un segment MK dont la longueur R est égale à l'inverse de la courbure au point M et l'on décrit, du point K comme centre, un cercle tangent à la courbe au point M ; c'est le cercle de courbure, K est le centre de courbure, R le rayon de courbure en M.

2o. Plan osculateur. — On donne le nom de plan osculateur au plan qui contient la tangente et la normale principale; il est

représenté sphériquement par le grand cercle tangent en m à l'indicatrice des tangentes ; on peut en donner plusieurs autres définitions. Remarquons d'abord que, le point M' se rapprochant indéfiniment de M, la droite TT" a pour limite, ainsi qu'on vient de le voir, la normale principale MN, d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le plan oscillateur en un point est la limite du plan mené par la tangente parallèlement à la tangente infiniment voisine.

Partant de cette définition, supposons qu'on projette la courbe sur le plan variable TMT". L'angle de contingence de la courbe est équivalent à celui de la projection ; cet angle est d'ailleurs égal à l'angle des plans normaux en M et M'; la corde MM' est équivalente à sa projection, puisqu'elle fait avec le plan variable TMT" un angle infiniment petit; les courbures des deux lignes au point commun M sont donc égales entre elles. Le centre de courbure de (C) est donc la limite du point où le plan oscillateur est coupé par la droite intersection des deux plans normaux en M et M'. Si donc on appelle caractéristique d'un plan mobile la limite de la droite suivant laquelle il coupe le plan infiniment voisin, on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — L'axe du cercle de courbure coïncide avec la caractéristique du plan normal.

On voit aussi que la courbe donnée et sa projection sur le plan osculateur ont le même cercle de courbure.

Considérons maintenant un arc de courbe gauche AB dont les extrémités sont situées dans un plan P; soit A' le point de cet arc le plus éloigné de ce plan; si l'arc AB ne contient aucun point singulier, la tangente en A' est parallèle au plan P; si l'on suppose en outre qu'il n'y ait, sur Tare AB, aucun point d'inflexion, le point directeur de la tangente en A est situé, sur l'indicatrice sphérique, entre les points directeurs des tangentes en A et B. Ceci posé, soient trois points consécutifs A, B, C appartenant à une partie de courbe sur laquelle ne se trouve ni point singulier ni point d'inflexion, V le point de l'arc AB le plus éloigné du plan P déterminé par ces trois points, B' le point analogue de l'arc BC;