CHAPITRE V. — COURBES GAUCHES. COURBURE ET TORSION. Si

aux cinq points \. V, B, I!. C correspondent, sur L'indicatrice,

cinq points a, a', b, b' . c rangés dans le même ordre, et le plan du grand cercle a', // est. parallèle au plan P. Si l'on suppose maintenant que A, B, C soient variables et se rapprochent indéfiniment d'un même point limite M. les points «', // auront pour limite commune le point m correspondant de l'indicatrice; le plan du grand cercle langent en m sera parallèle au plan osculateur de la courbe donnée au point M, et le plan P viendra à la limite se confondre avec ce plan osculateur. Cette démonstration est due à M. E. Barré.

En résumé, si trois points infiniment voisins ont pour limite commune un même point M , qui ne soit ni singulier, ni d'inflexion, le plan de ces trois points a pour limite le plan osculateur au point M. On doit remarquer que la démonstration précédente subsiste sans modification si les deux points A et B se confondent; le plan mobile P est alors déterminé par le point C et la tangente en V. En particulier on peut donner, du plan osculateur, deux nouvelles définitions qui résultent du théorème suivant:

Théorème. — Le plan oscillateur en un point M est la limite du plan déterminé par ce point et par deux autres points infiniment voisins, ou encore du plan déterminé par la tangente en M et le point infiniment voisin.

Gomme corollaire, il est aisé de démontrer que le plan TMN est, de tous les points passant par le point M, celui qui s'approche le plus du point infiniment voisin M', ce qui justifie le nom de plan osculateur que nous lui avons donné. Soient en effet (fig. 43) M'H la distance du point M' à un plan fixe Q passant par M, M' G sa distance à la trace M\ du plan Q sur le plan M'MT. Si l'angle TMX est différent de O, M'G est un infiniment petit du premier

ordre et l'angle M'GH a une limite finie; M'H est donc du premier ordre ; pour que M'H soit au moins du second ordre, il faut que MX et MT se confondent, ou, en d'autres termes, que le plan Q soit tangent en M à la courbe donnée. Cette condition est d'ailleurs suffisante, car on a dans ce ca>

M'JI =3 MTsinT = .M.M'sinM'MTsinT,

et les deux premiers facteurs sont tous deux infiniment petits. D.

Pour que l'ordre de Mil s'élève d'une unité au moins il faut cl il suffît que ie troisième facteur sinT ait pour limite zéro; il faut doue que le plan IM'MT se confonde à la limite avec le plan HTM,

Fi g.

c'est-à-dire avec le plan O: celui-ci est donc bien le plan oscillateur en M.

Remarque. — La distance du point M' au plan oscillateur en M est infiniment petite du troisième ordre au moins ; si M est un point ordinaire de la courbe, cet ordre sera exactement égal à trois; mais il peut s'élever d'une ou plusieurs unités si M est un point particulier comme par exemple un point d'inflexion ; nous reviendrons plus loin sur l'évaluation de cet infiniment petit.

Cercle oscillateur. — Projetons la courbe donnée (C) sur le plan variable P; le cercle circonscrit au triangle ABC, coïncidanl avec sa projection, a ponr limite le cercle de courbure, au point M, de la courbe (C| ; projection de (C) sur le plan osculateur; or nous avons démontré plus haut que les deux courbes (C) et ( C, ) onl même cercle de courbure; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le cercle de courbure en un point est lu limite du cercle circonscrit à un triangle variable, dont les trois sommets auraient pour limite le point considéré .

Envisagé à ce point de \ue, le cercle de courbure prend le nom de cercle oscillateur : son axe est ce qu'on appelle la droite polaire relative au point M. Il est clair que, dans toute question relative à trois points infiniment voisins, le cercle osculateur pourra être substitué à la courbe elle-même, dans le> mêmes conditions que pour le cas des courbes planes < ro/r $ 12. p. oo).