CHAPITRE \. COURBES GAUCHES. COURBURE ET TORSION

20. Binormale. Torsion. — < )n donne le nom de binormale à la droite MB perpendiculaire en M au plan osculateur ; elle est représentée sur la sphère par l'un ou l'autre des pôles ;a. u., du grand cercle tangent à la première indicatrice : elle esl donc parallèle à la direction limite de la perpendiculaire commune aux deux tangentes MT, M T et c'est ce qui justifie le nom de binormale ; elle est également parallèle à la droite polaire, intersection des plans normaux en M et en M'.

Lorsque le point M parcourt (C), le point u. décrit une courbe sphérique qui est l'indicatrice des binormales ; l'arc u.m étant constamment égal à un quadrant, reste normal à cette seconde indicatrice (§23), d'où le théorème suivant (J.-A. Skrkkt) :

Théorème. — Les tangentes à V indicatrice des tangentes et à celle des binormales, en deux points correspondants, sont parallèles.

Remarque. — Les deux indicatrices ont leurs tangentes de même sens ou de sens contraire, suivant qu'on prend pour point directeur de la binormale le point jjl ou le point symétrique p.,. Nous conviendrons de choisir pour direction de la binormale celle qui est représentée parle point ut; de plus, nous choisirons comme sens positif, sur l'indicatrice ainsi définie, celui dans lequel se déplace le point u. quand le point M parcourt la courbe donnée dans le sens positif; en résumé, les trois arcs MM', mm', utp.' sont tous trois de même signe.

Lorsque l'arc MM' est infiniment petit, Tare tj.u.' est équivalent à l'angle des binormales ou, ce qui revient au même, à l'angle des plans oscillateurs en M et en M' ; cet angle que nous désignerons par di s'appelle Y angle de torsion; l'angle de torsion mesure la quantité dont la courbe, au voisinage du point M, s'écarte de la forme plane, de même que l'angle de contingence mesure de quelle

quantité elle s'écarte de la forme rectiligne. Le rapport -r

s "appelle par analogie le rayon de torsion au point M ; nous le désignons par T ; c'est une ligne essentiellement positive.

Torsion. — - Nous définirons la torsion au point M comme étant une quantité algébrique dont la valeur absolue esl égale à ~

n dont le signe est déterminé par la disposition qu'affecte la courbe relativement à son plan oscillateur. Si nous avons pu nous dispenser d'attribuer un signe à la courbure rr> c'est parce (pie la

courbe, dans le voisinage d'un point ordinaire M, est tout entière d'un même côté du plan rectifiant ; elle est au contraire traversée par le plan oscillateur et peut être disposée, par rapport à ce plan, de deux manières différentes. Pour cette raison, il est utile de donner un signe à la torsion ('), et nous ferons, à cet égard, la convention suivante :

Le plan oscillateur partage l'espace en deux régions. Imaginons un observateur placé debout sur ce plan, les pieds en M, le visage tourné vers le centre de courbure ; selon que les points voisins de M, situés dans la même région que cet observateur, seront à sa droite ou à sa gauche, nous dirons que la disposition de la courbe est dextrorsiun ou sinistrorsum; il est d'ailleurs bien ('-vident que la disposition reste la même, quand on passe de l'une à l'autre des deux régions séparées par le plan. Ceci posé, nous

conviendrons de prendre pour mesure de la torsion — ■= dans le premier cas, H-Tp dans le second ; =r étant égal, ainsi que nous l'avons dit, au rapport -7^, qui est essentiellement positif.

Il est à remarquer qu'aux deux dispositions que nous venons de définir correspondent deux orientations distinctes du trièdre formé par la tangente, la normale principale et la binormale (2) ; il peut y avoir avantage à se placer à ce point de vue pour définir le signe de la torsion.

Remarque. — Supposons que la torsion soit nulle tout le long de la courbe (C); l'indicatrice des binormales se réduit alors à un point unique p et celle des tangentes à un grand cercle ayant ce point tj. pour pùle ; la tangente MT est donc parallèle à un plan une P ; sa distance à ce plan P prend alors, quand on passe du point M au point M' infiniment voisin, un accroissement qui est constamment du second ordre au moins. Celle distance

(') Cf. Dauboux, Leçons sur la théorie des sur/aces, t. IV, note IV, p. |a3. (-) loir plus loin, 2 29, Hélices.