CHAPITRE V. — COIRUKS GAUCHES. COURBURE ET TORSION
demeure donc constante et la courbe est nécessairement plane. La torsion ne peul «loue s'annuler, pour une courbe gauche, qu'en de certains points particuliers; de là le nom de ligne à double courbure qu'on donne en général à une courbe dont tous les points ne sont pus dans le même plan.
Nous appellerons point de seconde inflexion ou point de stationnement loui point d'une courbe gauche où la torsion scia nulle.
Relations entre les deux indicatrices. - I /indicatrice des tangentes et celle des binormales sont des courbes sphëriques supplémentaires ; elles ont même développée sphérique ; le grand cercle mu. ( fig. 42), normal à chacune d'elles, représente sphériquement le plan rectifiant de la courbe (C), le pôle de courbure m, représente donc sphériquement la caractéristique du plan rectifiant; enfin, le rayon de courbure sphérique mesure l'inclinaison 0 de cette caractéristique sur la tangente MT. Ceci posé, les angles de contingence et de torsion au point M, d? et a\ sont mesurés respectivement par l'arc mm' de la première indicatrice, et par L'angle de contingence sphérique de ce même arc mm' ; on a donc, en appliquant la formule (3),
tanse = ^ = ir
Ile m arquons encore que l'angle désigné par K dans les formules (i)et(a) devient, quand on applique ces formules à l'une ou à l'autre des deux indicatrices, l'angle dio de deux normales principales infiniment voisines. Les formules peuvent alors s'écrire
( "> i th. — dio cosO, da = cIm sinO,
d'où, entre les trois angles infiniment petits dn, dx , doi . la relation.
(6) d<a*=dai-hd-z*.
"11 . Sphère osculatrice. — Par le point M de la courbe et trois antres points M', M", W infiniment voisins de M, on peut faire passer une sphère et une seule; cette sphère S, variable quand les trois derniers points se rapprochent indéfiniment du premier, tend
vers une position limite et devient ce qu'on appelle la sphère osculatrice au point M. La sphère osculatrice, contenant évidemment le cercle oscillateur, son centre est situé sur la droite polaire, et il suffit, pour connaître la sphère, de connaître, en grandeur et en signe, la distance de son centre au centre de courhure.
Pour déterminer cette distance, considérons un polygone sphérique variable, ayant pour sommets les points M, M', M", M'" : ce polygone sera tout entier situé sur la sphère variable S et tendra vers une courbe limite (C() située sur la sphère osculatrice. Cette
courbe (C() et la courbe donnée (C) pourront évidemment être substituées l'une à l'autre si l'on ne doit envisager cpie des quantités infiniment petites du troisième ordre au plus. Soientalors M2 le centre de la sphère osculatrice, M, le pôle de courbure sphérique • le la courbe (G|) au point Al, H la projection du point M sur le rayon M,M2; Mil sera égal au rayon de courbure R, et nous aurons, en prenant pour unité le rayon de la sphère,
R = sinp, <7R = cosp dp = \1.2H dp.
( >r, do mesure I angle des deux binormales infiniment voisines,
il est donc égal à l'angle de torsion — el nous axons ainsi, pour
la distance du centre de courbure H au centre de la sphère osculatrice,
(-) HM2=A=— T^p,
as
