CHAPITRE v. — COURBES GAUCHES. COURBURti ET TORSION

d'où, pour le rayon /■ (!<■ la sphère osculatrice,

(8) ra=R2-4-As (h = - T ~) (' i.

\ as I

Remarque. — Il résulte de ces deux formules que les courbes C el C, ont, au point M, même courbure, même torsion et même dérivée de la courbure par rapport ;'i l'arc.

Nous démontrerons plus loin (§ 33) que le point Mo, quand on passe du point M au point infiniment voisin, se déplace parallèlement à l;i binormale ou, en d'autres termes, que la tangente au lieu du centre de i;i sphère osculatrice coïncide avec la droit* polaire relative au point M. Admettant cette propriété., nous avons, pour la variation de longueur de MM2, qui reste constamment normal à (G),

,/,=u,m;, coOi,mm ;-M»M'i-ft (h=-T^\.

La distance des centres de deux sphères osculatrices infiniment voisines est donc donné par la foi-mule

Si donc dr = o, l'un on l'autre des facteurs M.iM,. — =- est

également nul ; d'où :

Théorème. — Lorsque le rayon de la sphère osculatrice est constant, la courbe est sphérique ou à courbure constante.

Torsion sphérique. — L'angle (S£' I, sous lequel se coupent les sphères osculatrices ïï relatives aux points MM', csl lié aux ravons /■, r de <cs deux sphères et à la distance des centres par la relation

M, M'j = r2 — /• '- — ■>./•/• <'<.-\ SS/ .= (#■ — r <-- i rr sin2 \ — / ;

(') Ces formules subsistent évidemment quand on ne prend plus pour unité le rayon de la sphère.

SS PREMIÈRE l'AISTlE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

ou, en supposant MM/ infiniment petit,

(ss')=\,

M, M', — tir*

<i, en tenant compte des formules (8) et (9),

(ss') 1 K dr

ch T /• d\\

Remarque. — En procédant pour la sphère osculatrice comme on l'a fait pour le plan oscillateur, il sciait naturel d'appeler tor-

1 > ■ Tir 1 (S S')

sion spherique au point M le rapport — -j — que nous \eiions

d'évaluer, et torsion spherique totale l'angle (SS'); cet angle se conserve quand on transforme la courbe donnée par une inversion; comme, d'ailleurs, deux arcs élémentaires homologues sont évidemment proportionnels à leurs distances au pôle d'inversion O,

, , OM rd\\ , ,

on en eonclul que Je rapport -=- X -rr-r a même valeur sur la

* ' ' 1 ï\dr

courbe donnée et sur sa transformée.

28. Étude de la courbe dans le voisinage d'un point. — Soient MT, M' T" les tangentes aux extrémités de lare infiniment petit MM' de la courbe (G); projetons la figure sur un plan variable P. parallèle à ces deux tangentes ; le point de concours Tt des tangentes à la courbe (C,) en M,, M', est le pied de la perpendiculaire commune à MT, M'T". La courbure totale de l'arc MM' est égale à la courbure totale de sa projection M, M\ ; les angles et les segments rectilignes sont d'ailleurs équivalents à leurs projections, au point de vue infinitésimal, et les propriétés démontrées aux paragraphes 6 et 12 pour les courbes planes, en un point ordinaire, s'étendent sans difficulté à la ligne (C) ; il suffit de les énoncer :

1" Les segments ries tangentes aux extrémités d'un are infiniment petit, limités à la perpendiculaire commune à ces tangentes, sont des infiniment petits équivalents :

■20 f] angle formé pur la corde d'un arc infiniment petit et