CHAPITRE V. COUnitES GAUCHES. COURBURE ET TORSION. 8g

la tangente à V une des extrémités de cet arc est équivalent a la moitié de V angle de contingence;-

3° L'angle inscrit dans un arc infiniment petit est équivalent au supplément de la demi-courbure totale de cet arc.

D'après celle dernière propriété, le cercle oscillateur en M pourra être substitué à la courbe elle-même si l'on ne considère

Kig. r>.

que les relations entre trois points infini ment voisins; on peut, par exemple, en déduire que la différence entre un arc et sa corde a

pour partie principale ' comme dans le cas d'une courbe

plane (§ 12).

Distance du plan oscillateur au point infiniment voisin. — - Prenons maintenant pour plan de projection P, un plan perpendiculaire à la tangente MT ; soit encore M, M', la projection de l'are MM' ; les deux arcs M" M, M' M qui aboutissent au point M, étant situés d'un même côté du plan rectifiant, et départ et d'autre <\u plan osculateur, le point M( est un point de rebroussement de la courbe (C(). Cette courbe (C, ) el sa langenteont donc, engénéral au point M, un contact d'ordre .', ; l'angle M',M,T| est par suite équivalent aux deux tiers de l'angle M', T, H, qui équivaut lui-même à la moitié de l'angle de torsion, ainsi qu'on le voit immédiatement en considérant l'indicatrice des tangentes ; on conclut de ce qui précède que l'angle formé" par le plan MTM' et le plan osculateur au point M est équivalent au tiers de l'angle de torsion. On

l'UEMIKKE PARTIE.

(.KO.MKTRIi; INKIXITKSIM U.K.

en déduit, pour l'expression de la distance du point M au plan oscillateur en M,

M, H = MiM', &inM', M,T, = MM' sinM'MT sinM', M,T,.

Or les deux angles infiniment petits qui figurent au second

• • i , da . , dt

membre sont respectivement équivalents a — et a — ; on a

donc, en appelant A la distance du point M7 au plan osculateur en M,

ds <:h dz

(il) A = —

De là deux conséquences : en premier lieu, le plan osculateur en un point ordinaire traverse la courbe, ce que nous savions déjà,

Fig. 16.

de plus, la projection de celle-ei sur le plan mené par la tangente perpendiculairement au plan osculateur est traversée par sa tangente au point M ; ce point est donc un point d'inflexion de la courbe projetée sur le plan rectifiant.

Plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines. — lui second lieu, si l'on projette le segment TT' {fig. i 5) sur le plan MM'M,. en tenant compte de l'équivalence des segments recliligncs MT. M'T'. on voit immédiatement que TT" est équivalent

à la distance du milieu I de MM au plan osculateur en M: on a donc, en appelant 0 la plus comte distance de deux tangentes infi-