CHAPITRE \. COURBES GAUCHES. COURBURE ET TORSION

niment voisines, Sro-, ou, d'après la formule (i i),

. „ (/s 1/7 dz

Les formules (i i) el (i 2) sont dues à O. Bonnet.

*1\). Applications. — Hélices. -On appelle hélice une courbe (ldiii l;i tangente fait un angle constant 0 avec un axe fixe; l'indicatrice des tangentes se réduit, pour une telle courbe, à un petit cercle ayant pour pôle le point w de la sphère (|iii représente l'axe fixe, ce qui met en évidence une première propriété:

Théorème. — Toutes les normales principales de l' hélice sont

parallèles à un même plan perpendiculaire à V axe.

Réciproquement toute courbe dont la normale principale reste parallèle à un plan fixe est une hélice dont V axe est perpendiculaire à ce plan.

En elle t, l'indicatrice des tangentes doit alors se réduire à un cercle puisque sa tangente reste parallèle à un plan lise.

L'indicatrice des binormales ayant même pôle de courbure que celle dès tangentes se réduit elle-même à un cercle de pôle w et de

rayon sphérique — + 8 ; réciproquement si l'indicatrice des binormales est un petit cercle, celle des tangentes sera un petit cercle supplémentaire du premier et la courbe sur une hélice, d'où cette seconde propriété :

Théorème. — La. /anormale de V hélice fait un angle constant avec l'axe; réciproquement toute courbe dont la binormale fait un angle constant avec une direction fixe est une hélice.

Considérons maintenant le cylindre qui a pour directrice l'hélice el dont les génératrices sont parallèles à Taxe fixe; d'après ce qui précède le plan osculateur au point M est, en ce point, normal au cylindre et le plan rectifiant de l'hélice est le plan tangent au cylindre; le point M est donc un point d'inflexion de la courbe obtenue en projetant l'hélice sur ce dernier plan; l'hélice se transformerait alors, dans le développement du cylindre, en une ligne dont tous les points seraient des points d'inflexions, c'est-à-dire en une droite.

Soit ( M,) une section droite du cylindre ou, en d'autres termes, la projection de l'hélice (H) sur un plan perpendiculaire à l'axe; l'arc M, M', étant la projection de MM' qui fait avec le plan de projection un angle égal à - — 9 on a, en appelants, .s,, les arcs comptés sur les deux courbes à partir de deux points correspondants \, A,,

ds\ = ds sin 0.

d'où, en intégrant,

( i3) a'i = s sinO.

Un arc quelconque de V hélice est donc proportionnel à sa projection sur le plan delà section, droite. ha réciproque est évidente.

Courbure et torsion de V hélice. — Considérons en général, sur une courbe quelconque ( G) le triangle ABC formé par trois points infiniment voisins ayant tous trois pour limite un point M de la courbe; projetons la figure sur un plan faisant avec le plan osculateur en M un angle !ÎJ et avec la tangente en M un angle o. Soint a. b, c les angles que font les trois côtés du triangle variable avec le plan de projection, R,R( les rayons des cercles circonscrits au triangle ABC et à sa projection, A l'angle du plan ABC avec le plan de projection; on a, en comparant Taire du triangle et celle de sa projection,

cos). cosacosôcosr

Passons a la limite, en remarquant que a. b, c on! pour limite commune »■ tandis que À a pour limite 5j ; il vient alors, en appelant R, R, les rayons de courbures de la ligne ( G) et de sa projection.

C'est la généralisation de la forme démontrée (p. 17) pour le cas d'une courbe ptane.

Cette formule est tout à fait générale et d'une application fréquente; dans le cas particulier où la courbe (C) est une hélice

d'angle 0 il faut y faire £7 et o égaux tous deux à - — 6 ce qui