COURBURE ET TORSION

donne

sin'^0

étant la courbure de la section droite au point M. Ri

Pour déduire de La formule (i5) la valeur de la torsion, il suffît de remarquer que les normales principales en des points voisins M, M' étant parallèles au plan de la section droite, leur angle se projette en vraie grandeur sur ce plan et mesure la courbure totale de l'arc M , Vf, : on a donc, en appliquant la formule ((3) du paragraphe 26,

ds\ , ,/ i i

Hf =• *■(!? + Tï

ou, si l'on tient compte des relations (î .'>) et (i5), sin90 sin48 i

d'où

i sinô cos6 I

I nl I

d'où enfin le théorème suivant :

Théorème. — La courbure et la torsion d'une hélice sont l' une et Vautre proportionnelles à la courbure de la section droite, d'où il résulte que le rapport de la courbure à la torsion reste constant.

Ce rapport constant est d'ailleurs égal à | tang 9 J, d'après les formules (i5) et (16).

Réciproquement, supposons que le rapport des deux flexions conserve une valeur constante tout le long d'une courbe (G); le rayon de courbure sphérique de l'indicatrice des tangentes sera également constant d'après la formule (4) (§26) ; cette indicatrice, dont la développée sphérique se réduit à un point, sera un cercle et la courbe sera une hélice; de là le théorème réciproque dû à J. Bertrand.

Théorème. — Toute courbe dont la courbure et la torsion sont dans un rapport constant est une hélice.

Hélice circulaire. — Lorsque le cylindre est de révolution, c'est-à-dire lorsque la section droite est un cercle de centre O, la normale principale se projetant suivant la normale à ce cercle, et

(|'l PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

celle-ci passant constamment par le point O, rencontre constamment l'axe du cylindre; réciproquement si les normales principales d'unecourbe rencontrent toutes, à angle droit, une droite fixe, la courbe est une hélice circulaire; de plus R, étant constant el égal au rayon du cylindre, r et ^ sont tous deux constants d'après les formules (i4) et (16) et nous obtenons le théorème sui- \<ml :

Théorème. — Dans l'hélice circulaire, la courbure et la torsion sont, l'une et l'autre, constantes.

Réciproquement, si les deux ileximis d'une ligne à double courbure sont Tune et l'autre constantes, leur rapport étant constant, celte ligne scia une hélice et la formule (i 5) donnant alors pour —

une valeur constante, cette hélice appartiendra à un cylindre de révolution; d'où le théorème suivant, dû à Puiseux :

Théorème. — Toute ligne à double courbure dont la courbure et la torsion ont des valeurs constantes est une hélice tracée sur un cylindre de révolution.

Remarque relative au sens de la bînormale. — l ne courbe gauche peut être assimilée à une hélice circulaire au point de vue de -a disposition, en un point donné, par rapport à son plan oscillateur: rien n'empêche de remplacer, à ce point de vue, le plan osculateur au point M par un plan quelconque contenant la normale principale, par exemple, dans le cas de l'hélice, par le plan de la section droite. Soient alors MX la normale principale. \l/ la projection de la tangente sur le plan de la section droite; imaginons un observateur ayant les pieds au point M et placé debout sur l'une ou l'autre face du plan NM/i//'»'. \- .

Si cet observateur, étant tourné vers Je centre de courbure voit à sa droite les points de la courbe situés du même côté que lui par rapport au plan, l'hélice aura, par la définition que nous avons adoptée, la disposition dextrorsum (§26); cherchons alors comment sera disposée la binormale ; elle sera placée sur la droite indéfinie BBj, perpendiculaire au plan TMN; il suffît de projeter les deux points B, l>, en h el A,, sur le plan <\e la section, pour voir que, si M se déplace dans la direction Ml. les déplacements des deux