INFINIMENT PETITS EN GÉOMÉTRIE

Infiniment petits équivalents. — Principe de la méthode

infinitésimale. dlstance de deux points infiniment

voisins sur une courbe; tangente, normale, longueur d'un arc. — Angle de deux directions infiniment voisines; INDICATRICES SPHÉTUQUES. VARIATION DE LA LON- GUEUR DUN SEGMENT RECTILIGNE. APPLICATIONS.

I. Infiniment petits. — Un infiniment petit est, par définition,

une quantité variable qui a pour limite o. Lorsque l'on compare

deux quantités, a, j3, qui varient simultanément, il peut se pré-

senter trois cas : le rapport - peut croître au delà de toute

limite ; on dit alors que [3 est infiniment grand par rapport à a;

>i - tend vers o, on dit que [i est infiniment petit par rapport

à y. ; si, enfin, ce rapport L tend vers une limite différente de o, ou,

2 PRKMIICRK PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

plus généralement, reste compris entre deux nombres fie même signe, on dit que [j et a sont des' infiniment petits du même ordre.

On compare, en général, les infiniment petits qui figurent dans une même question à l'un deux a qu'on appelle infiniment petit principal ; tout autre infiniment petit [j, qui serait du même ordre que a, est dit du premier ordre ; plus généralement, s'il existe un nombre n tel que 3 et a" soient du même ordre, on dit que [i est un infiniment petit de l'ordre n.

Par exemple, sina et tanga sont du premier ordre, i — cosa est du second, a — sina du troisième.

Remarque. — I /ordre infinitésimal d'un produit, tel que nous venons de te définir, est évidemment égal à la somme des ordres de ses facteurs ; cela résulte de ce que la limite du produit des <\<>u\ facteurs est égale au produit de leurs limites.

Méthode infinitésimale. — - Deux quantités variables sont dites équivalentes, lorsque leur rapport a pour limite l'unité, ou, ce qui revient au même, lorsque leur différence est infiniment petite par rapport à l'une ou à l'autre : nous exprimerons cette équivalence à l'aide du signe <~ placé entre les lettres qui représentent les quantités considérées.

Lorsqu'une quantité variable A est formée de deux parties A'. A;/ telles que A" soit infiniment petite par rapport à V cette dernière prend le nom de partit 'principale. Dire que deux quantités variables sont équivalentes, c'est dire qu'elles ont même partie principale ; il est d'ailleurs évident que le rapport d'une quantité variable à sa partie principale a pour limite l'unité.

Théorèmes. — i" La limite du rapport de deux quantités variables n'est pas changée quand on remplace chacun des termes de ce rapport par sa partie principale ;

2° La limite d' une somme de quantités variables, de même signe, n'est pas changée quand on remplace chacune dis parties de cette somme par sa partie principale.

i° Soit, en effet, le rapport y- de deux quantités variables, équi-