INTRODUCTION". — INFINIMENT PETITS EN GÉOMÉTRIE

valenles respectivement à deux autres a', b' ; on a évidemment

les deux premiers facteurs du second membre ayant tous deux l'unité pour limite, on en déduit

1 1 tu -7- = 1 1 m — • 0 0

2° Soient maintenant une somme

de quantités variables, toutes de même signe ;

une seconde somme composée de quantités respectivement équiva-

lentes à at, a-2l . .., an ; le rapport 7-; est compris, comme on le sait,

entre le plus grand et le plus petit des rapports

et, comme ces derniers ont tous pour limite un, il en est de même de—, ; si donc l'une des sommes

«! -t- a-i -t- . . . -+- an , a', ■+- «',-+-... -f- à'„ .

a une limite, l'autre en a une également, et ces deux limites sont égales.

La méthode infinitésimale repose entièrement sur le théorème précédent; elle consiste à substituer aux quantités variables qui figurent de prime abord dans la question à résoudre, d'autres quantités qui leur soient respectivement équivalentes et qu'on choisit de manière à simplifier le plus possible les raisonnements et les calculs. Le résultat final ne sera jamais faussé par de telles substitutions, car on n'a jamais à calculer en dernière analyse que des limites de rapports ou des limites de sommes.

Dans l'étude d'une question quelconque de Géométrie, on sera conduit à faire usage constamment des trois remarques suivantes :

i° Un segment rectiligne variable est équivalent à sa projection sur un plan ou sur un axe qui fait un angle infiniment petit avec la direction du segment ;

2° Un angle variable est équivalent à sa projection sur un plan qui Jait avec le plan de cet angle un angle infiniment petit;

.)" Deux segments rectilignes, AB, A'B' sont équivalents et ont même direction limite, si les deux segments AA', BB' sont infiniment petits par rapport à AB.

La première partie est évidente; pour la seconde, soit BAC un

angle, B'A'C sa projection sur un plan faisant avec le plan BAC un angle 8. Prenons sur AB, AC des longueurs finies b, c, et soient 8, y les angles que les côtés AB, AC font avec le plan de projection, nous aurons, en projetant l'aire du triangle ABC :

d'où

b cos3.c cosy-sinB' A'C = bc sin BAC cosO;

si n B'A'C cosO

/ \ cos S cosv

sin BAC r

Le second membre ayant évidemment pour limite l'unité, le rapport des sinus a pour limite un ; et il en est de même du rapport des angles.

Pour la troisième partie, menons A'B" égal et parallèle à \l!

r lii. i .

Dans le triangle BB'B", on a

B'B"= BB"cosB"-4-BB'cosB'.

B' R" Donc —r—,, a pour limite o, puisque BB", BB' sont tous deux

infiniment petits par rapport à AB. Ceci posé, le triangle B'It \