CHAPITRE \. — COURBES GAUCHES. COMUUHi: ET TOIISION

points h et / seronl de naême sens, tandis que ceu\ de l>{ et de / de sens contraire. Il faut donc pour rester fidèle à la manière dont nous axons défini la direction de La bihormale, choisir cette direction Ml>, et rejeter MB, : d'où la règle suivante :

Si la courbe (t, par rapport à son plan oscillateur, la disposition dextrorsum, le trièdre formé par la tangente, la normale principale et la binormale, sera orienté de gauche à droite.

Cette orientation est celle qu'on donne en général, en géométrie

Fig. ',-.

(HJ-

analytique, au trièdre de référence des coordonnées rectilignes. Dans le cas d'une disposition sinistrorsum, le trièdre MTNB serait, en conséquence, orienté de droite à gauche.

30. Ordre de contact de deux courbes gauches ou d'une courbe et d'une surface. — On dit que deux lignes à double courbure (C), (Ci) ont, en un point donné M, un contact de l'ordre n lorsque, faisant varier infiniment peu l'une ou l'autre, (Ci) par exemple, on peut faire en sorte qu'elles aient en commun, outre le point M, n autres points M, , Mo, . . ., \ln infiniment voisins de M. Pour qu'il en soit ainsi, les courbes (C) et (Ci ) devront avoir, au point M . des relations très précises que nous allons déterminer. Soit C, la courbe qui résulte de la déformation de (C(); supposons que C, revienne, pour une déformation égale et contraire, coïncider ;i\ ec (G,) ; les points M , , M2 M« se déplaceront sur (C) en se

rapprochant indéfiniment de M; si n = i , la sécante MM, deviendra, à la limite, tangente à la fois aux deux courbes (C) et (C,); les deux lignes données devront donc se toucher au point M, c'est la condition a" un contact du premier ordre.

Supposons /^ = 2 le cercle circonscrit au triangle MM,M2 aura pour limite, lorsque (G'() redeviendra la courbe G,, un cercle oscillateur à la (ois aux deux lignes données; celles-ci devront donc avoir, au point M, même tangente, même direction de normale principale, même rayon de courbure; ce sont les conditions d' un contact du second ordre.

De même si n = 3 la sphère circonscrite au tétraèdre M M , M2 M3

aura pour limite, dans les mêmes conditions, une sphère qui sera

osculatrice à la fois aux deux courbes (C) et (C,), la distance du

centre de cette sphère au centre de courbure, qui a pour valeur

jp absolue T —z- (§ 27), aura donc même valeur pour les deux lignes

données. Il est d'ailleurs évident que les deux lignes ont, en un point M, infiniment voisin de M, un contact du second ordre ; d'après ce qu'on a vu plus haut les deux rayons de courbure en M, doivent avoir la même valeur; on aura donc, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur:

R -t- MM, — = Et, -j- MiM, — -,

as j as ,

,. ■ j.-« i dR «/II,

ou, en tenant compte des conditions déjà obtenues, —j- = -z — ; on

a donc pour les conditions d'un contact du troisième ordre, outre la coïncidence des tangentes el des normales principales :

as as1

D'une manière tout à fait générale, il est visible que, si le contact est d'ordre n au point M, il est d'ordre (/i — i) au moins au point M, infiniment voisin de M ( ' ). [On aura donc les conditions cherchées en dérivant par rapport à l'arc les conditions obtenues pour le contact d'ordre (n — î). En définitive on voit qu'on peut énoncer le théorème suivant :

(') Cela revient à dire que, si (C ) et (C, ) ont en commun n points M,, M ,. . . . infiniment voisins de M, elles ont en commun (n— i), points au moins infiniment voisins de Mr