CHAPITRE V. — COURBES GAUCHES. COURBURE isT TORSION

Théorème. — Pour que deux lignes à double courbure aient, en un point donné, un contact d'ordre />, il faut :

1" Qu'elles aient, en ce point, même tangente et même normale principale ;

20 Que la courbure et ses n — 2 premières dérivées par rapport à l'arc soient égales pour les deux courbes;

3° Qu'il en soit de même de la torsion et de ses (n — 3) premières dérivées par rapport à Varc.

Contact cV une ligne et d'une surface. - On peut définir le contact de l'ordre n entre une courbe donnée (C) et une surface donnée (S) par la condition qu'une variation infiniment petite amène la surface à être coupée par la courbe en n points Ml5 M2, . . ., M„, infiniment voisins de M ; d'après cette définition une ligne à double courbure a un contact du second ordre, en un point ordinaire avec son plan oscillateur et du troisième ordre avec la spbère osculatrice. Les conditions générales du contact dépendent des conditions dans lesquelles varient les courbures et les torsions des lignes, en nombre infini, qu'on peut faire passer par le point M sur la surface S. Sans cbercber à les exprimer généralement, remarquons qu'on peut les obtenir en dérivant. (/? — 1) fois, par rapport à l'arc de la courbe S, celles qui expriment que la courbe et la surface ont en commun le point M.

i)S PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.