CHAPITRE VI. — LIGNES A DOUBLE COURBURE

donné. On considère trois courbes G4, C2, G3 passant par ce point M el situées tout entières sur la surface; laissant fixes G, et Go, on fait varier les éléments de la courbe G;J d'une manière continue, de telle sorte qu'elle reste constamment sur la surface el se transforme en une courbe G'3, coupant G( el G2 en des points M( , M-, ; si, par une variation ellectuée en sens inverse, on ramène la courbe C3 dans sa position initiale G3, en la faisant repasser par la même suite d'états intermédiaires, les côtés du triangle M,M2M ne cesseront pas d'être dans un même plan et comme ils ont pour limite, sauf pour des positions exceptionnelles de M, les tangentes en ce point aux trois courbes Gt, G2, G3, on en conclut que les 1 alimentes à trois courbes quelconques passant par le point M sont situées dans un même plan qui est, par définition, le plan tancent en M; la normale à la surface est la perpendiculaire au plan tangent.

Surfaces gauches. — ■ Considérons maintenant (fig- 4^) 'a surface engendrée par une droite mobile ; [soient G, G' deux positions de la génératrice correspondant à deux valeurs t, t' du paramètre dont dépend la position de la droite, M, M' leurs traces sur un plan P perpendiculaire à G, M' H la projection de jG' sur ce plan ; abaissons de [M une perpendiculaire M H sur cette projection et soit K le point de G' qui se projette au point H ; menons enfin par ce point K. une parallèle à HM et soit L le 'point 'ou elle coupe la génératrice G. La droite LK. est la perpendiculaire commune à G et G'; sa longueur S mesure la plus courte distance entre ces deux génératrices qui font entre elles un angle égal à K et les deux triangles rectangles en H, HM M', H K. M' nous donnent les égalités

M' H = KHtangK = MH tangHMM'.

Supposons maintenant que G' se rapproche indéfiniment de G; la différence t' — t tend vers o et peut être prise pour infiniment petit principal; l'angle K. est alors un infiniment petit du premier

ordre, §3 ('); la distance 0 étant infiniment petite le rapport — tend

vers une limite m ; enfin le point L qui est, sur G, le pied de la per-

(') On laisse de côté le cas des cylindres, pour lesquels k est constamment nul.

ÎOO PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

pendiculaire commune, tend vers un point limite O; c'est le point central de la génératrice G.

Ceci posé, si nous désignons par h la distance du point M au point central, par <p l'angle que fait le plan tangent en M avec la position limite du plan HMG, légalité précédente devient, en passant à la limite :

(i) tango = mh.

Supposons d'abord que o soit du premier ordre; le coefficient ttj n'est ni nul ni infini, le plan tangent tourne donc autour de la génératrice lorsque le point de contact se déplace sur cette droite; de là le nom de surface gauche donné, dans ce cas, à la surface réglée; la formule (i) nous donne le théorème suivant :

Théorème. — Tout plan passant par une génératrice d'une surface gauche touche cette surface en un point dont la distance au point cent/ai est proportionnelle à la tangente de l'angle que ce plan fait avec un plan tangent fixe.

L'angle a> s'annulant avec A, ce plan fixe n'est autre que le plan tangent au point central O: ^ s'appelle le coefficient de distribution des plans tangents.

Il résulte de la formule (i) que le rapport anharmonique de quatre plans tangents, menés par la génératrice G, est égal au rapport anharmonique des quatre points de contact; ce qui n'est qu'une autre manière d'énoncer le théorème de Chasles. Remarquons encore que, d'après cette même formule, les valeurs h, ht. correspondant à deux plans tangents rectangulaires, sont liées par

la relation symétrique

t^2 h Ji{ — i = o.

Nous dirons que deux points sont réciproques sur une génératrice lorsque les plans tangents en ces points seront rectangulaires, et l'égalité ci-dessus exprime le théorème suivant :

Théorème. — Les deux divisions engendrées su/- une génératrice par deux points réciproques sont en involution, et le centre de l'involution coïncide avec le point central.

Cette propriété justifie le nom de point central que nous avons