CHAPITRE VI. — LIGNES A DOUBLE COUKBU1Œ

donné au point O. Lorsqu'on passe de La génératrice G à une autre génératrice G', le point central décrit une courbe 00' {fig? 48) qu'on appelle la ligne de striction de la surface.

Fig. j8.

Surfaces conjuguées. — La perpendiculaire KL, lorsque G' se rapproche indéfiniment de < î, tend vers une droite limite passant en O et perpendiculaire en ce point à G. 11 faut bien remarquer que cette droite limite Y n'est pas, en général, tangente à la ligne de striction: cette circonstance ne pourrait se présenter que si KO' et LO étaient infiniment petits par rapport à (t' — t), ce qui n'a pas lieu en général. La droite T engendre, quand t varie, une surface réglée S(. Il est évident que la surface proposée S peut être définie à l'aide de S, exactement comme S, est définie à l'aide de S. Ces deux surfaces réglées sont dites réciproques ou conjuguées ; elles ont même ligne de striction et se touchent en tous les points de cette ligne commune (').

Nous terminerons cette étude sommaire en donnant un autre énoncé du théorème relatif à la distribution des normales le long d'une génératrice donnée. Soient G cette génératrice {fig- 49)> O le

( ' ) Ce raisonnement ne s'applique plus si la direction limite de 00' (ou de LK ) coïncide avec celle de la génératrice (G). La surface (S) est alors formée des tangentes à sa ligne de striction, et la surface conjuguée S, est engendrée par les binormales de cette même ligne. (Voir § 33: Surfaces développables, note, p. i io.)

lO'Jt PRKMIËRK PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

point central. Sur la normale au point O, prenons un point quelconque \, et menons par ce point, perpendiculairement à OA, la droite D qui fait un angle a avec G; cette droite est bien déterminée; je dis que, en choisissant convenablement l'angle a, on peut faire en sorte qu'elle rencontre toutes les normales relatives aux différents points de G.

Soient, en effet, M l'un de ces points, situé à une distance h du point central; M, le point où D rencontre le plan mené au point M

Fil

ri-

perpendiculairement à la génératrice G; V la projection de M, sur un plan parallèle à celui-ci mené par le point central. Nous aurons comme pour la ligure précédente

A^ P = /i = OAtangPOAcota:

MM, sera la normale au point M si l'on a

tangPOA = mh, c'est-à-dire si l'angle a satisfait à la condition

tanga = crOA.

Si l'on détermine ainsi la droite D, les normales considérées rencontreront constamment deux droites fixes; elles sont d'ailleurs toutes parallèles à un même plan perpendiculaire à la génératrice ( • : on peut donc énoncer la loi de distribution des plans tangents sous la forme suivante :