CHAPITRE VI. — LIGNES A DOUBLE COURBURE. I o

Théorème. — Le lieu géométrique des normales menées à une surface gauche par les différents points d'une même généniirice est un parabololde hyperbolique équilatère.

Remarquons enfin que, d'après la formule (a), deux points d'une même génératrice, pour lesquels les plans tangents sont rectangulaires, soni toujours situés de pari et d'autre du point central.

32. Surfaces développables. — Lorsque la plus courte distance o n est pas du premier ordre, mais est infiniment petite par rapport;» l'angle K des deux génératrices G, G' infiniment voisines, la surface réglée prend le nom de surface développable. On a, dans tous les cas (Jig- 48), en appelant o la dislance du point ( ) à La génératrice G',

o =V4K*+ ÔT/tang* K = OO'sinOO'K;

o ne peut donc être d'un ordre supérieur au premier que si GO' est

au moins du deuxième ordre ou si l'angle kO'O est infiniment petit. Supposons d'abord que OO' soit constamment infiniment petit par rapport à l'accroissemenl t' — t de paramétre; les coordonnées du point central, qui sont des fonctions de t se réduiraient à des constantes et, le point O étant immobile, les génératrices G passant par un point fixe, la surface serait un cône.

Laissant de coté ce cas particulier, supposons que l'angle KO'O ait pour limite zéro: la direction limite de OO' coïncide alors avec G ; cette génératrice est donc, au point O, tangente à la ligne de striction. On peut donc définir une surface développable comme étant le lieu géométrique des tangentes à une courbe gauche.

Le plan tangent en un point M situé à une distance h du point central est encore déterminé par la formule (i) qui se réduit ici

à © = - > le coefficient m étant infini. Le plan tangent est donc le

même en tous les points L de G; il est perpendiculaire au plan limite vers lequel tend le plan variable GLk (fig. f8) lorsque t' — t tend vers o. Comme la droite L K devient à ta limite la binorm aie à la ligne de striction, ce plan limite coïncide avec le plan rectifiant de cette ligne; et le plan tangent, qui lui est perpendi-

loj PREMIÈRE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

culaire, n'est autre chose que le plan oscillateur de la ligne de striction, qui prend alors le nom.d'àréte de rebroussement ; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le plan tangent à une surface développable reste invariable quand le point de contact décrit une génératrice de la surface, et coïncide avec le plan oscillateur de V arête de rebroussement.

Remarque: — Nous avons vu (§ 28) que la plus courte distance entre deux tangentes infiniment voisines d'une ligne à double courbure est toujours au moins du troisième ordre. Si donc une droite se déplace d'une manière continue, la plus courte distance entre deux positions consécutives ne pourra jamais être du second ordre ; si elle n'est pas du premier ordre, elle doit être au moins du troisième et la droite reste alors tangente à une courbe. Ce théorème est du à Bouquet.

Enveloppe d'un plan mobile. — Considérons un plan mobile dont la position dépend d'un paramètre; soient P, P' deux positions du plan, correspondant aux valeurs t, t' du paramètre ; je dis que si t' tend vers t la droite d'intersection (P, P' ) de ces deux plans tend vers une droite G, bien déterminée, du plan P ( ■ ). Soient en effet D la trace du plan mobile sur un plan fixe Q, T la trace de la droite ( P, P' ) sur ce même plan; lorsque / \arie, D enveloppe une courbe (C) et, si / — / tend vers o, Ta pour limite le pointde contact M; la trace de la droite ( P, P' ) sur un plan quelconque tend donc vers un poinl limite parfaitement déterminé, ce qui suffit à la démonstration.

La droite limite s'appelle la caractéristique du plan mobile P. Lorsque t varie, eetle caractéristique engendre une surface réglée ; le plan P contient d'ailleurs la tangente à la courbe C intersection de cette surface par le plan Q; il est donc tangent en M à la surface ; celle-ci, ayant même plan tangent en tous les points d'une même génératrice, n'est pas une surface gauche; elle est donc développable : c'est /' enveloppe du plan mobile P. Le point central de

(') Cetle affirmation ne pourrait cesser d'être exacte que pour certaines valeurs exceptionnelles du paramètre /.