CHAPITRE vr. LIGNES A DOUBLE COURBURE. lOD

la caractère tique se nomme le poinl de rebroussement, le lieu des points de rebroussement, quand / varie, autrement dit la ligne de striction de la surface, est ce qu'on appelle X arête de rebroussement {voir la note, p. 101).

Remarque. — Il résulte de la démonstration précédente que, si le plan mobile reste tangent à une courbe, sa caractéristique passe par le point de contact. On voit aussi que la tangente en un point variable d'une ligne à double courbure coïncide avec la caractéristique du plan osculateur.

Propriétés des lignes tracées sur une surface dêveloppable. — Soit AMM' (fig. 5o) l'arête de rebroussement; pour déterminer un point M, de la surface, il suffit de connaître le point central M de la génératrice qui passe en ce point M, et le vecteur MM,. En d'autres termes il suffit de connaître l'arc AM = s compté à partir à\u\ point (ixe A et la valeur algébrique / du vecteur MM,. Pour

Fig. 5o.

que M, décrive une courbe ( G| ) il suffit que / soit une fonction déterminée de s, l =f(s). Soit i l'angle sous lequel la courbe (Ci) coupe la génératrice MM, ; projetons la figure sur un plan parallèle aux deux génératrices infiniment voisines MM,, M'M't. Nous aurons d'abord, en appelant d? l'angle de contingence de l'arête, ds, l'arc M' M', et appliquant le théorème relatif à la variation de longueur d'un segment rectiligne :

( 3 ) dl = — ds -t- dsy cos i,

(4) / th = ds\ sin i.

Soient ensuite mm', m{m\ les indicatrices sphériques des tangentes pour l'arête de rebroussement et pour la courbe (C,)(Jig. 5i). Le plan du grand cercle mm{ est parallèle au plan tangent en M, et

par suile au plan oscillateur de l'arête ; ce grand cercle est donc langent en m à l'indicatrice mm' \ de même le grand cercle m' m\ louche cette indicatrice au point m' ; nous aurons donc, en appliquant le théorème relatif à la variation d'un segment de grand

Fig. :,..

cercle, et remarquant que l'arc mm{ mesure l'angle i :

< j I di = dnx ces S — da.

(h, étant l'angle de contingence de la courbe (C, |, S l'angle que fait son plan oscillateur avec le plan tangent en M, .

Les formules (3) (4) (5) peuvent être mises sur la forme

(7) COU = -^j— r[i -+-/'(*)],

cosS' \ I di i \

,,s) -r7 =^T»U^hJ'

I\ et R, étant les rayons de courbure de l'arête et de la courbe Cf. Décrivons du point K comme pôle l'arc de petil cercle m\u. Cet arc sous-tend un angle égal à l'angle de torsion de l'arête dans un cercle de rayon sin/et le triangle mu, m\ donne alors la relation

di sint = rfaj sin S.

d'où Ion déduit

( «.» ) ™ sin« = -i-r-— sin.r.

Des formules (6), (j), (<S) et (9) on pourra déduire toutes les propriétés de la courbe C,.