CHAPITRE VI. — LIGNES A DOUIU-E COl'RUCRE

Remarque. — La quantité — — dont la valeur nous est donnée

par L'équation (8) est évidemment [§ 2t), form. (il)] la courbure de la projection de la courbe (G|) sur le plan tangent en M, à la surface. On lui donne à cause de cela le nom de courbure tangentielle de la ligne G, au point M,. Nous verrons plus loin pour quelle raison on la désigne aussi sous le nom de courbure géodésique, plus généralement usité.

Développement de la sur/ace. — La surface, lieu des tangentes à une ligne courbe, peut être appliquée sur un plan avec conservation des longueurs d'arc et c'est à cette propriété qu'elle doil le nom de sur/ace développable. Pour démontrer cette propriété, et la définir en même temps avec plus de précision, nous démontrerons d'abord : qu'on peut construire une ligne plane et une seule pour laquelle la courbure soit une fonction donnée de l'arc.

Soient, en ellet, une courbe plane répondant à la question. a l'angle que fait avec l'axe OX la tangente à l'extrémité de l'arc s de cette courbe ; la courbure étant la dérivée de a par rapport à .s, la condition donnée fait connaître cet angle en fonction de s par une

équation de forme :

x = a04- Xi s),

, , . dx dy

a0 étant une constante ; les relations —r- = eos x. -f- = sin a

ds ds

donnent ensuite, par des quadratures, les coordonnées d'un

point m en fonction du paramètre s par des équations analogues,

savoir

a? = a?o-+-/(s), y =jk«-+- ©(s).

Le problème admet donc une solution, et cette solution est unique, car il est évident que les constantes x0, y0, a0 qui caractérisent chaque solution particulière ne peuvent servir qu'à fixer, dans le plan, la position de la courbe (G), et n'ont aucune influence sur la forme et les dimensions de cette courbe.

Ceci posé, revenons à la surface S, Heu des tangentes à une ligne (C) ; si nous appelons s l'arc de cette ligne (C) compté à partir d'une origine fixe A, la courbure à l'extrémité M de l'are s est une fonction donnée de cet arc ; nous pouvons, d'après le

io8

PREMIERE l'AUTIi:

GEOMETRIE INFINITESIMALE.

lemme précédent, construire, dans un plan P {fig. 52), une ligne définie par la même loi de courbure. Les deux courbes (c) et (C) se correspondent point par point de telle sorte que les courbures en deux points correspondants soient égales, ainsi que les longueurs des arcs correspondants. Soient maintenant M) un point quelconque de la surface (S, ) {fig. 5o), M le point correspondant de l'arête de rebroussement, m le point homologue de M sur la courbe (cV. Prenons pour homologue du point M, de la surface le point m, du plan, obtenu en portant sur la tangente en m à la courbe (c) un vecteur />?/>/, égal, en grandeur et en signe, au vecteur MMt. La

surface et le plan se correspondent alors point par point, de telle sorte que les quantités .s\ — , / aient les mêmes valeurs, sur la surface et sur le plan pour deux points homologues quelconques ; des formules (6), (7) et(8) où ne figurent que ces trois quantités et leurs dérivées par rapport à s, on déduit, pour ces deux courbes, les mêmes

valeurs de — ^-> tang.jf, — n — On en conclut d'abord que la transfords R 1

malion conserve les longueurs d'arcs ; elle conserve également les angles, car si deux courbes qui se croisent au point M, de la surface forment des angles /et j avec la génératrice qui passe au point ÎM , , les deux courbes homologues qui se croisent au point />?, forment avec la transformée de cette génératrice les mêmes angles /et / ; la différence i — / est donc la même dans le plan et sur la surface el l'on en conclut que deux lignes quelconques de celles-ci se coupent sous le même angle que les lignes homologues du plan (').

(') Cette propriété découle d'ailleurs de la précédente: il e>t bien évident que toute transformation d'une surface, qui conserve les longueurs d'arcs, conserve, par cela même, les angles.