CHAPITRE VI. — LIGNES \ DOUBLE COURBURE. IOg

Enfin cette transformation conserve également la courbure tangentielle / ; le plan oscillateur, dans le cas d'une courbe plane,

se confondant en chaque point avec le plan même de cette courbe, cos 2f devient égal à i , et la courbure tangentielle ne diffère pas de la courbure propre ; on a donc, en désignant par /-, le rayon <\c courbure <!•• La ligne transformée,

COSÏ 1

d'où le nom de courbure de développement qu'on donne quelquefois à la courbure tangentielle.

Remarque. — La transformation de la surface en un plan peut être réalisée par une déformation continue ; il suffit pour cela de détordre l'arête de rebrou ssement jusqu'à ce qu'elle devienne plane, en laissant invariables la longueur d'arc comprise entre deux points quelconques ainsi que la courbure en chaque point. Cette déformation continue constitue ce qu'on appelle le développement de la surface S.

Lignes géodésiques. — On appelle ligne géodésique d'une surface développable une ligne dont la courbure tangentielle est nulle en ebaque point; une telle ligne, d'après la formule (10), se transforme en une droite lorsqu'on applique la surface sur un plan, et jouit par conséquent des propriétés suivantes : elle mesure sur la surface la plus courte distance d'un point à un autre; on peut, par deux points de In surface, faire passer une ligne géodésique et une seule; toute courbe tracée sur la surface admet en chacun de ses points une Jigne géodésique tangente ; l'angle formé par les deux lignes géodésiques tangentes aux deux extrémités d'un arc est égal à l'angle des deux tangentes rectilignes menées aux extrémités de l'arc transformé ; la courbure tangentielle en un point d'une ligne quelconque est donc égale à l'angle formé par les deux lignes géodésiques tangentes menées aux extrémités de cet arc, divisé par la longueur de l'arc ; envisagée à ce point de vue, la courbure tangentielle prend le nom de courbure géodésique.

33. Nous avons, maintenant, à faire l'application des résultats

I lo PREMIERE PARTIK. — (iEOMKTIUE INFINITKSIMALK.

qui précèdent aux surfaces réglées engendrées par les arêtes ou enveloppées par les faces du trièdre trirectangle que forment la tangente, la binormale, et la normale principale d'une ligne à double courbure quelconque ; une telle ligne peut être considérée comme l'arête de rebroussement de la surface enveloppée par son plan oscillateur au point mobile M, la tangente MT étant la caractéristique du plan oscillateur, et ce point M le point de rebroussement. La plus courte distance entre deux binormales infiniment voisines est égale à l'arc MM'= ds de la courbe donnée; l'angle de ces deux binormales est égal à l'angle de torsion ; le coefficient de distribution des plans tangents est donc, pour la surface gauche

des binormales, égal à la torsion =, ; le point M étant évidemment

le point central, la courbe donnée est la ligne de striction commune à la surface développable décrite par la tangente et à la surface gauche des binormales ; ces deux surfaces sont donc conjuguées. Il est à remarquer qu'elles semblent se couper à angle droit tout le long de la ligne de striction commune, au lieu de se toucher comme le font en général deux surfaces réglées conjuguées (').

Surface rectifiante. — Le plan rectifiant contenant la tangente MT, sa caractéristique, ou droite rectifiante, passe parle point M; nous avons vu qu'elle fait avec le plan osculateur un angle 9 dont

la tangente est égale à — > ce qui la détermine complètement ; nous

ne nous arrêterons pas à déterminer le point de rebroussement ; nous remarquerons seulement que, le plan rectifiant étant perpendiculaire au plan oscillateur au point M,, la courbe donnée est une ligne géodésique de la surface rectifiante et se transforme par conséquent en une droite lorsqu'on applique cette surface sur un plan, d'où les noms de plan rectifiant et de sur/ace rectifiante.

Surface gauche des normales principales. — Soient MO, M'O' deux normales principales infiniment voisines {fig. 53),

(') Cette anomalie n'est qu'apparente; elle disparait si l'on remarque que tout point de l'arête de rebroussement est un point singulier, où le plan tangent est indéterminé.