CHAPITRE VI
LIGNES A DOURLK COURBURK.
(), < )' le> points centraux, K le centre de courbure au point M; M'k peut être considéré comme la projection de M'O' sur le plan osculateur en M; si l'on abaisse O'H perpendiculaire sur cette droite M' K et qu'on joigne OH, le triangle OO'H est rectangle en H ; l'angle O'OH de ce triangle a pour limite l'angle 9 que fait la droite rectifiante avec le plan oscillateur; car les plans rectifiants en M, M' sont perpendiculaires, l'un à MO, l'autre à M'O'; enfin
Fie. 53.
les angles M RM', O'M'H sont équivalents aux angles de contingence et de torsion cfa, d~z de lare MM'. On a alors dans les triangles O'M'H. OO'H, OHR :
O'H ~ M'O'A ~MOrfx, O'H ~ OH tangO, OH ~ OK rfer.
On en déduit d'abord en passant aux limites :
d'où (n)
MO ds
tttt = -s- tangO = tan» 2fl, tanj
OK ar. °
MO = Rsin2G, OK = Rcos26, taugG = — .
Ou a aussi, d'après la formule (6) (§ 26), dto étant l'angle de deux normales principales infiniment voisines
ds
/du>y i i
\lh) = TÏ^RÏ d°U ds' -Tcos6
On a ensuite le coefficient de distribution des plans tangents
en observant que le plan tangent en M coïncide avec le plan oscillateur de la courbe (C). On a donc, en appliquant la formule (i) :
tanirO tane6 i i
MO Rsin2fl RsinOcosU Tcos26
On en déduit, pour la plus courte distance 00',
(ij) 00' ~ — ~ ,/h , T cos-M) ~ ds cosft.
m 1 coso
Courbes de Bertrand. — Les formules (n), (12), (i3), (14) traduisent évidemment toutes les relations qui peuvent exister entre la ligne à double courbure la plus générale et la surface gauche formée par les normales principales. Comme application, proposons-nous de déterminer une courbe (G) telle que ses normales principales soient également les normales principales d'une seconde courbe (G,).
Observons d'abord que le segment MM, de normale commune compris entre deux points correspondants de(C) et de (C,) doit avoir une longueur constante; soit / cette longueur. En second lieu, si l'on considère, pour chacune de ces deux courbes, l'indicatrice des tangentes, ces deux courbes sphériques ont leurs tangentes parallèles aux deux points m, /;?, qui correspondent à M et à M, ; les rayons o/«, ojïi{ de la sphère étant tous deux perpendiculaires à la direction commune de ces deux tangentes, le grand cercle mm{ est normal à l'une et à l'autre des deux indicatrices; il a donc une longueur constante et l'angle i mesuré par l'arc m m, est lui-même constant. On a donc, tout d'abord, les deux propriétés suivantes:
i° La distance MM| de deux points correspondants ;i une longueur l constante.
20 L'angle formé par les tangentes aux deux courbes, en deux points correspondants, a une valeur constante /.
Considérons alors la surface engendrée par la normale principale commune MM, ; l'angle i est égal à l'angle des deux plans tangents à cette surface aux deux points M, M, ; si O est le point central et m le coefficient de distribution des plans tangents, on a, en appliquant la formule (1) à ces deux points M et M,,
isMO — TnAI,0 ttt/
tanj
73» MO M, O i + w'MO(/-H(i)
CHAPITRK VI. — LIGNES A DOUBLE COURBURE. Il3
relation où ne figurent |>l us que les éléments «le la courbe (c) ; si l'on réduit coite formule en remplaçant MO el m par leurs valeurs (i i) fi ( i3 ), il vient
tangj -
ce (jui peu! s écrire
d'où ce théorème :
COSl SINf S1I1J
