INTRODUCTION. — INFINIMENT PETITS EN GEOMETRIE

donne

k> BB" (C>

sin A = -ttttt, sin A B B .

Ali

L'angle A' a donc pour limite o et les deux vecteurs AB, A'B' ont même direction limite. On a ensuite

A' B' = A' B"cos A' +• B"B' cosA' B'B", d'où

—-7— = cos A H- -— — cos A B L .

Le second membre a évidemment pour limite l'unité ; donc les segments A'B', AB sont équivalents.

2. Distance de deux points infiniment voisins sur une courbe. — Une courbe est le lieu des positions successives d'un point M dont les coordonnées x,y, z sont des fonctions données d'un paramètre variable t.

Supposons les axes de coordonnées rectangulaires et soient

ces trois fonctions. Si l'on fait varier t de la valeur a à la valeur [i, le point M passe, d'un point A de la courbe à un autre point B, par une suite de positions intermédiaires dont l'ensemble forme ce qu'on appelle l'arc AB. Nous supposerons toujours qu'on a restreint l'intervalle (a, (3) de telle sorte que les conditions suivantes soient remplies dans tout cet intervalle, c'est-à-dire dans toute l'étendue de cet arc.

Les fonctions y, es, ^ seront continues, ainsi que leurs dérivées, d'ordre quelconque; de plus, les dérivées f'(t), <p'(0, '!'(0 ne seront jamais nulles toutes trois pour une même valeur de t. Ces conditions ne pourront cesser d'être remplies que pour des valeurs exceptionnelles de t : a, (3, y, ... et nous ne considérerons que les intervalles partiels (a, (3), ((3, y), ....

Soient alors deux points de la courbe M, M' infiniment voisins, correspondant à des valeurs t, l' du paramètre {fig. 2), on a poulies cosinus directeurs de la corde MM'

n .nn-f(t) , ?(Q-?(o wn-yjt)