TT ~T~ ~T

Théorème. — Pour que les normales principales d'une courbe (C) soient en même temps normales à une seconde courbe (C|) il faut que sa courbure et sa torsion vérifient une relation linéaire ( Bertrand).

On peut démontrer que celte condition est suffisante (voir 1\ Serret, Théorie des lignes à double courbure, p. i i i). Remarquons seulement que les hélices sont un cas particulier des courbes de Bertrand, puisque le rapport de leurs courbures est constant; on a alors i = o. Si l'on considère en particulier l'hélice circulaire pour laquelle R et T sont des constantes, il est évident que les normales principales sont normales principales d'une infinité d'hélices de même axe ; la surface formée par ces normales s'appelle /.'hélicoïde gauche. Réciproquement :

Théorème. — Si les normales principales d'une courbe (C) sont en même temps normales principales de deux autres courbes (C,) et (C2), elles le sont d ) une infinité de courbes: toutes ces lignes sont des hélices circulaires de même axe, et leurs normales principales foi ment un hélicoïde gauche.

Supposons en elï'et que la condition (i V) soit vérifiée pour deux systèmes de valeur de /et de t. On aura alors deux équations qui

détermineront - et ^i ces deux équations seront certainement Kl '

compatibles ; elles ne pourraient cesser de l'être que si l'on avait

iz=i, ; or, cela ne peut être car les normales principales dune

ligue à double courbure ne forment jamais une surface dévelop-

pable, d'après la formule (i3), et les angles i, i{ correspondante

deux valeurs différentes de / sont nécessairement différents. La courbure el la torsion de (G) resteront donc toutes deux constantes et cette courbe sera une hélice circulaire d'après le théorème de Puiseux.

34. Surface enveloppe des plans normaux. — jNous avons vu (§ 25) que la caractéristique du plan normal coïncide avec l'axe du cercle de courbure ou droite polaire ; pour cette raison on

Fil

donne le nom de sur face polaire à l'enveloppe des plans normaux d une ligne à double courbure. Pour déterminer le point de rebroiissement situé sur la droite polaire du point M, considérons la sphère qui touche la courbe (C) en ce point M et en un autre point M' infiniment voisin; cette sphère a pour limite la sphère oscuJatrice en M, son centre est d'ailleurs dans le plan normal en M'. Le centre de la sphère osculatrice est doue la limite du point d'intersection de la caractéristique du plan normal en M et du plan normal infiniment voisin; l'arête de rebroussement de la surface polaire est donc le lieu des centres des sphères osculatrices; ainsi se trouve démontré ce que nous avons admis au paragraphe 27, savoir que la droite tangente à la courbe décrite par le centre de la sphère osculatrice est parallèle à la binormale.

Développées. — On appelle développée d'une ligne (C) une seconde ligne (C|) dont toutes les tangentes rencontrent normalement la première {fi g'- ■Vf).