CHAPITRE VI. LIGNES A liOlUI.K COUltllUHE

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Les propriétés démontrées (§ 13) pour la développée d'une ligne plane appartiennent aux développées définies de la façon la (tins générale: la variation de longueur du segment MM| est encore égale à l'arc correspondant de la développée el le procédé de description de la développante s'applique sans modification. I ne ligne plane ou gauche admet une infinité de développées dont chacune est l'arête de rebroussement d'une surface développable passant par la courbe (C), qui est une trajectoire orthogonale des

génératrices. Le plan MM,T mené par le point M, et la tangente MT est donc oscillateur à la développée au point M t ; la binormale de la développée est par suite perpendiculaire à MT, elle est donc située dans le plan normal de (C); le point M, appartient donc à la droite polaire du point M. On voit de plus que le plan oscillateur de la développée contenant MT est perpendiculaire au plan normal, ce qui caractérise les lignes géodésiques de la surface polaire. En résumé :

Toutes les développées sont situées sur la surface polaire et forment sur celte surface une famille de lignes géodésiques.

Développement de la surface polaire. — Il résulte de ce qui précède que, si l'on étend la surface polaire sur un plan, les développées, se transforment en une famille de droites. Ceci posé soit Plv la droite polaire relative au point M, K étant le centre de courbure. Par chaque point M, de Plv passe une développée et une seule et cette développée coupe la droite Plv sous un angle i

dont la tangente est égale à

Ceci pose, effectuons le développement; soit (F) la courbe en laquelle se transforme l'arête de rebroussement, PK se transforme en une certaine tangente jj. R à cette courbe T ; par chaque point m , de cette droite passe une droite m, O qui est la transformée de

Fie. 56.

Tune des développées et l'angle /se conserve dans le développement.

Soit O le point où cette droite rencontre la perpendiculaire menée à u.k par le point k. Le triangle rectangle Km, O est égal à KM, M comme ayant un angle aigu égal ainsi qu'un coté de l'angle droit. On a donc OR = R et le point O est indépendant de la ligne géodésique considérée; d'où le théorème suivant du à Lancret :

Théorème. — Quand on effectue sur un plan le développement de la surface polaire les développées se transforment en un système de droites concourantes, et la courbe transformée du lieu des centres de courbure est la podaire de leur point de concours par rapport à la transformée de l'arête de rebroussement.

Remarque. — Le lieu des centres de courbure ne sera jamais une développée; en effet, s'il en était ainsi, la podaire du point O, par rapport à l'arête de rebroussement développée, serait une droite; les tangentes à la courbe Y seraient, par conséquent, toutes parallèles à une même direction fixe et la courbe serait plane.