PROPRIÉTÉS DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

Disposition de la surface par rapport au plan tangent;

FORME DE LA SURFACE. - — THEORIE DE l'iNDICATRICE.

Courbure des sections normales; théorèmes d'Euler et de Dupin. — Tangentes conjuguées. — Lignes asymptotiques. Lignes de courbure. — Théorème d'O. Rodrigues. - — Courbure normale. — Théorème de Meusnier. — Courbure tangentielle. Lignes géodésiques.

35. Disposition de la surface par rapport au plan tangent. — Toute droite passant par un point O d'une surface, et située dans le plan tangent en ce point, ayant avec cette surface deux points communs, confondus au point O, celui-ci est un point double de la section faite par le plan tangent. Chacune des tangentes aux deux branches de cette section a trois points confondus, en O, avec la courbe de section, et par suite avec la surface. Ces deux tangentes particulières, qui ont l'une et l'autre, avec la surface, un contact du second ordre, ont reçu le nom de tangentes asymptotiques. Toute section plane menée par l'une d'elles admet le point O comme point d'inflexion.

Soient {fig. 5t) M un point situé sur la surface à une distance du point O qui soit infiniment petite du premier ordre, P la projection de ce point sur le plan tangent.

La distance MP est, en général, du second ordre, si la surface, comme nous le supposons, ne présente au point O aucune singularité; cet ordre ne pourra s'élever au troisième que si le point P est situé sur l'une des tangentes asymptotiques X'X, Y'Y; PM reste, d'ailleurs, d'un même coté du plan tangent tant que sa pro-

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jection reste dans l'angle XO\ ou dans son opposé par le sommet et est du côté opposé, si P est dans l'un des autres angles. Trois cas peux eut alors se présenter.

1" Les deux tangentes asymptotiques sont imaginaires ; MP conserve alors un signe constant et la surface est, dans le voisinage du point (), disposée par rapport au plan tangent comme le serait un ellipsoïde. Le point O est dit elliptique; c'est un point double isolé de la section par le plan langent.

2° Les deux tangentes asymptotiques sont réelles et distinctes; ces deux droites divisent alors le plan tangent en deux

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régions distinctes dont chacune est formée de deux angles opposés par le sommet O ; les points de la surface, voisins de O, sont situé> d'un côté ou de l'autre du plan tangent, suivant qu'ils se projettent dans l'une ou dans l'autre de ces deux régions. La surface est alors disposée au point O, par rapport à son plan tangent, comme le serait une surface réglée du second ordre, et le point O, qui est pour la section un poinl double à tangentes séparées, est dit hyperbolique.

.)" Les tangentes asymptotiques sont confondues ; le point O est alors un point de rebroussement de la section, et ht surface, dans les environs de ce point, qu'on nomme poinl parabolique, n'affecte, relativement à son plan langent, aucune disposition déterminée, telle une surface développable en un point de son arête de rebroussement.

/''o//ne de la surface. — Pour se faire une idée nette de la forme qu'affecte la surface en un point donné O, il suffit de la couper par deux plans parallèles au plan langent, infiniment voisins et équidistants du plan langent. La distance MP est une fonction des