CHAPITRE Vil. — LIGNES TRACEES SUR UNE SI RFACE

coordonnées a?, y du point P rapporté à des axes fixes du plan tangent el, comme celle distance esl du second ordre, sa partie principale est un trinôme du second degré ax*-{- ibory -+- cy- ; si donc on néglige les infiniment petits du troisième ordre, la section laite par l'ensemble des deux plans MP = db h se projette sur le plan tangent suivant le système de deux coniques conjuguées qui

a pour équation

a .r- -t- 2 b xy -+- cy- — ± h .

Gomme on a en vue uniquement la forme de la surface au point O on peut substituer à h un nombre fini et constant quelconque, par exemple l'unité, les deux coniques ainsi obtenues étant homothéliques et concentriques aux deux précédentes.

Ces deux coniques forment ce qu'on appelle Y indicatrice de la surface au point O. Elle se compose de deux hyperboles conjuguées, ayant pour asymptotes les tangentes asymptotiques, lorsque le point est hyperbolique; d'une ellipse réelle et d'une ellipse imaginaire quand le point est elliptique. L'indicatrice, en un point parabolique, se réduit sensiblement à deux droites parallèles.

Courbure des sections normales. — On peut se rendre compte, d'une autre manière, de la forme de la surface; menons en efFet, par la normale OlN, un plan sécant variable OMN et considérons la courbure au point O, de la section normale ainsi obtenue (fig- ôS).

Si le plan sécant tourne autour de la normale, un point M de la section, situé à une distance constante h, infiniment petite, du plan tangent, décrit une courbe honiotliélique à l'indicatrice, toujours en négligeant les infiniment petits du troisième ordre; et il en est de même de sa projection V sur le plan tangent; le

rayon de courbure II de la section normale esl d'ailleurs égal

oi'2 à -Tm el comme IMP est constant on est conduit au théorème 2 Ml

suivant ( Uupin) :

Théorème. — Les rayons de courbure des sections normales, en un point donné, sont proportionnels aux carrés des rayons centraux correspondants de l'indicatrice.

Ce théorème donne une idée très nette de la l'orme de la surface au point O. Il est évident, d'ailleurs, que le cercle de courbure de La section normale est situé sur ON ou sur la demi-droite opposée suivant que P appartient à l'une ou à l'autre des deux coniques conjuguées dont se compose l'indicatrice.

Les axes de l'indicatrice sont réels dans tous les cas el déterminent deux directions rectangulaires qu'on appelle les directions principales ; les sections normales correspondantes prenant alors le nom de sections principales.

Du théorème de Dupin et des propriétés élémentaires des coniques on déduil immédiatement les conséquences suivantes :

i " Les deux sections principales sont, parmi toutes celles qui se croisent au point O, celles dont le rayon de courbure esl maximum ou minimum;

2" La somme des courbures de deux sections normales rectangulaires est constante et égale à la somme des courbures principales;

3° La somme des rayons de courbure de deux sections normales^ menées par deux diamètres conjugués de l'indicatrice^ est constante et égale à la somme des rayons de courbure principaux.

Ces deux derniers énoncés conviennent au cas d'une indicatrice elliptique; si l'indicatrice était un système d'hyperboles il faudrait

substituer le mot différence au mot somme | ' ). Tous ces résultats

(') Cette distinction devient inutile si l'on convient de regarder la courbiii*': d'une section normale comme positive ou négative suivant que le centre de courbure est d'un côté ou de l'autre du plan tangent.

chapitre: VII. — LIGNES TRACEES sur une surface. sont contenus dans la formule suivante, duc à Luler,

i cos2e sîn*©

Il H, R,

qui équivaut évidemment au théorème précédent, et clans laquelle 11,, R2 sont les rayons de courbure principaux et II celui de la section normale dont le plan fait un angle m avec le plan de la première section principale.

Remarques. — La courbure de la section normale s'annule quand le plan passe par une asymptote de L'indicatrice; cela résulte d'ailleurs de ce que la section normale correspondante admet le point O comme point d'inflexion.

La condition pour qu'une conique soit du genre parabole se traduit par une seule relation entre ses paramètres; les points paraboliques d'une surface sont donc répartis sur une ligne qui sépare la surlace en deux régions dont l'une contient les points elliptiques, l'autre les points hyperboliques.

Ombilics. — Il existe sur toute surface des points elliptiques pour lesquels l'indicatrice est un cercle; ces points qu'on appelle ombilics sont, en général, isolés, puisque la condition de se réduire à un cercle établit deux relations entre les paramètres d'une conique. Il peut arriver d'ailleurs que, sur cette surface particulière, une de ces deux équations soit vérifiée identiquement; dans ce cas les ombilics forment une suite continue et sont répartis sur une ligne.

36. Tangentes conjuguées. — Lorsqu'un point M décrit une courbe (C) sur la surface, le plan tangent en M, dont la position dépend alors d'un paramètre, enveloppe une surface développable circonscrite à la surface suivant cette courbe (C), et la caractéristique du plan langent passe par le point M; il y a, entre les directions de cette caractéristique et de la tangente MT à (C), une réciprocité remarquable.

Soit en effet M' un point variable de (C), infiniment voisin de M ; les plans tangents P, P' en M et en M' se coupent suivant une droite (D) qui devient à la limite la caractéristique MT,, et nous

savons qu'elle doit, à la limite, loucher la surface en ce point M; il faut donc qu'elle rencontre la surface en deux points MJ? M'4 infiniment voisins de M (fîg. 5q). Supposons que le point M soit

Fii

hyperbolique; les quatre points M, M', M,, M', sont les sommets du quadrilatère curviligne formé par les quatre branches des sections faites dans la surface par les plans P et P'. Les tangentes en M, et M', à ces quatre branches forment un quadrilatère gauche M, M', au' dont la diagonale uu' est l'intersection des plans tangents P,, P', aux deux points M,, M,. Ceci posé, l'une au moins des deux cordes MM,, M' M', n'est pas infiniment petite par rapport à MM'; car, en ce cas, les trois segments M'M, M'M,, M'M', auraient même direction limite et le point M serait parabolique; d'autre part Mu. est infiniment petil par rapport à l'une au moins de ces deux cordes, car, s'il en était autrement, sa direction limite serait tangente à la fois aux deux branches de courbe issues de M, ee qui est absurde; Mu est donc infiniment petit par rapport à MM' et il en est de même du segment Mu; les deux droites (D) et MM' ont donc même direction limite, et la tangente Mï se déduit de AIT,, comme M T, se déduit de MT. Ces deux tangentes forment ce qu'on appelle, pour cette raison, un couple de lange n tes conjuguées .

Remarques. — Lue tangent*' variable et sa conjuguée engendrent, d'après cela, dans le plan tangent, deux faisceaux en involution. Pour que MT se confonde avec M, T, il faut que le point M soit le point de rebrousseinent du plan tangent : celui-ci doit donc