CHAPITRE VII. — LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. Iï

être oscillateur à la courbe (C) et la section normale qui contient MT doit avoir un point d'inflexion au point M; en d'autres termes l«'s rayons douilles de celle involution sont les asymptotes de l'indicatrice; il résulte de là qu'un couple quelconque de tangentes conjuguées, divisant harmoniquement le système de rayons doubles, coïncide avec un système de diamètres conjugués de cette indicatrice cl, en particulier, les axes de celte conique forment le système de rayons rectangulaires de celle i n\ olution.

On sait que, lorsqu'un système en involution admet deux couples de rayons rectangulaires, les rayons doubles sont isotropes et que tous les couples de rayons conjugués sont rectangulaires. L'indicatrice est alors un cercle et le point M un ombilic. On voit aussi que la caractéristique du plan tangent est indéterminée quand on se déplaee sur la tangente asymplolique issue d'un point parabolique.

Lignes asympto tiques. — On appelle ligne asymptotique une ligne dont la tangente en chaque point coïncide avec sa conjuguée; une telle ligne touche, en chacun de ses points, une des asvmptotes de l'indicatrice.

11 existe donc, en général, sur une surface quelconque, deux familles de lignes asymptotiques, réelles ou imaginaires.

Toule droite, située sur une surface, en est une ligne asymptotique, puisque tout plan passant par cette droite donne lieu a une section dont tous les points sont des points d'inflexion. S'il arrive que le plan tangent soit le même tout le long de cette droite, sa caractéristique est, en chaque point, indéterminée et les deux rayons doubles de l'involution se confondent; dans ce cas les deux lignes asymptotiques, en chaque point de la droite considérée, se confondent avec cette droite; tous ses points sont paraboliques.

D'après cela, sur loule surface développable, les deux familles de ligues asymptotiques se réduisent à une seule, formée des génératrices, et tous les points «l'une telle surface sont des points paraboliques.

La réciproque est vraie ; toule surface dont tous les points sont paraboliques esl une surface développable. Remarquons, en elïel,

l'.'l PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

que. sut' 1 1 1 1 « * (elle surface, les deux familles de lignes asymploliques se réduisent à une seule; d'après une remarque précédente, si l'on se déplace sur une de ces lignes asymptotiques, la caractéristique du plan langent est constamment indéterminée; ce qui revient à dire que le plan tangent est invariable; la surface admet donc un système de génératrices telles que le plan langent soit le même tout le long de chacune d'elles; il en résulte, ainsi que nous le démontrerons plus loin (p. i3o), que ces génératrices sont rectilignes, et que la surface est l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation dépend d'un paramètre unique; c'est donc bien une surface développable.

Remarque. — ■ Les définitions précédentes relatives aux tangentes conjuguées sont évidemment projectives et par suite les propriétés des systèmes conjugués et des lignes asymptotiques se conservent sans altération dans toutes les transformations homographiques ou dualistiques ; remarquons enfin qu'une ligne asymptotique peut être définie par la propriété que son plan oscillateur soit, en chaque point de cette ligne, tangent à la surface.

Application. — Toute surface du second ordre étant doublement réglée a pour lignes asymptotiques ses deux systèmes de génératrices rectilignes; or il est évident, d'autre part, que la surface formée par les normales principales d'une courbe gauche admet celle-ci comme ligne asympto tique, le plan oscillateur de celte ligne étant évidemment tangent à la surface. Il suit de là que les normales principales dune courbe gauche ne peuvent jamais former une surface du second ordre: elles ne peuvent jamais rencontrer trois droites fixes ni rencontrer deux (boites fixes. en restant parallèles à un plan fixe.

Lignes de courbure . — On appelle ligne de courbure une ligne qui touche en chacun de ses points un des deux axes de l'indicatrice. H résulte de celte définition qu'il existe sur toute surface un réseau conjugué orthogonal formé par les lignes de courbure. Ce réseau est toujours réel, tandis que le réseau asymptotique est tantôt réel, tantôt imaginaire; il ne se conserve pas dans les transformations projectives, mais on peut démontrer qu'il n esl