CHAPITRE VII. — LIGNES TRACEES SUR ONE SURFACE

[>;is altéré par une inversion, et c'est là une des propositions des plus importantes «le la théorie des surfaces (').

Il est aisé de voir ce que sont les lignes de courbure sur certaines surfaces particulières ; sur une surface développable par exemple, ce sont les génératrices et leurs trajectoires orthogonales ; cela résulte de ce que, en tout point parabolique, les deux directions asymptotiques coïncident avec l'une des directions principales.

De ce cas particulier on peut déduire, pour le cas d'une surface

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quelconque, une propriété importante des lignes de courbure; cette propriété consiste en ce que : la surface engendrée par une normale dont le pied décrit une ligne de courbure est développable. Pour le démontrer, supposons d'abord que la surface proposée soit développable. La propriété énoncée est évidente pour les génératrices puisque les /lorrnalies, c'est-à-dire les surfaces décrites par les normales correspondantes, sont des plans. Soient une courbe quelconque (G), deux points infiniment voisins M, M'; m, ni' les points correspondants de l'arête de rebroussement {fig- <3o). Les normales en M, M' sont parallèles aux binormales de l'arête en m, m'. Le plan normal de cette arête est donc parallèle à ces deux normales et leur plus courte distance est, par conséquent, égale à la distance du point M' au plan mené par M perpendiculairement à la généra tice m M; cette plus courte distance a donc pour partie principale MM' multiplié par le cosinus de l'angle i sous lequel (C) coupe la génératrice.

(') Pour. la démonstration analytique de ce théorème, voir troisième Partie, § 78. On trouvera, dans le Mémoire de O. Bonnet : Sur la théorie générale des surfaces, une démonstration géométrique simple du théorème de Dupin sur les systèmes triples orthogonaux (Journal de l'École Polytechnique, t. XXXII, p. 22).

Pour que ce produit soit d'un ordre supérieur au premier, il faut et il suffit que cet angle soit droit, ce qui démontre le théorème.

Celui-ci s'étend d'ailleurs à une surface donnée quelconque, toute ligne de courbure d'une surface étant évidemment une ligne de courbure de la dévçloppable circonscrite. On voit de plus que la propriété d'avoir une normalie développable caractérise les lignes de courbure et peut, en conséquence, leur servir de définition.

Si Ton considère, par exemple, une surface de résolution, les normalies relatives aux méridiens sont des plans, celles qui sont relatives aux parallèles sont des cônes de révolution; on en conclut que les deux familles de lignes de courbure sont composées des méridiens et des parallèles de cette surface.

Remarque . — En tout ombilic les directions principales étant indéterminées, les lignes de courbure de l'une des deux familles viennent toutes se réunir, comme le font les méridiens en un sommet d'une surface de révolution, celles de la seconde famille entourant cet ombilic de la même manière que les parallèles dans le voisinage d'un tel sommet.

Théorème n'O. Rodrigues. — Cette seconde définition des lignes de courbure met en évidence une propriété importante des direc-

Fig. Ci.