I COSA

C'est en cette égalité que consiste la proposition connue sons le nom de théorème d'O. fiodrigues. Nous n'eu ferons pour le moment aucune application, notre but étant seulement démontrer les points de vue différents sons lesquels pourront se présenter les questions relatives à la théorie des lignes tracées sur une surface.

Remarquons enfin, pour terminer ce qui concerne les lignes de courbure, que le lieu des centres' de courbure principaux O, O' pour la surface entière est une surface à deux nappes tangentes à toutes les normalies de courbure. Cette surface se nomme la développée de la surface considérée.

37. Courbure normale. Théorème de Meusnier. — On appelle courbure normale d'une ligne (C) tracée sur une surface donnée celle de la ligne plane qu'on obtient en projetant la courbe (C) sur le plan normal mené par la tangente MT.

Soit H l'angle que fait avec ce plan de projection le plan oscillateur de ( G) au point M. La courbure normale, d'après un théo-

i - > /o <j\r\ î cos 0 1» i i

renie démontre (§2»), a pour valeur R , — étant la courbure

propre de (C) au point M. Le théorème de Meusnier consiste en ce que cette valeur est également celle de la section faite dans la surface par le plan normal considéré.

Pour le démontrer observons d'abord que R est égal au rayon de courbure de la section oblique déterminée par le plan oscillateur de la courbe (C). Coupons cette section oblique et la section normale par un même plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de celui-ci. Soient M' M", M', M"t les deux cordes ainsi obtenues; il. 2/, leurs longueurs ; S, o, leurs distances au pointM; 0, p, les rayons des cercles circonscrits aux deux triangles M M' M",

M M' M'!. On a, en négligeant les infiniment petits d'ordre supé-

rieur

La distance des deux droites parallèles M' M", M'( MJ est évidemment du même ordre cpie 8 et o,, c'est-à-dire du second, et il

en est de même des deux segments M'M't, M" M*; le rapport -y a donc pour limite l'unité. On a donc

— = cosn

Pi

l\t étant le rayon de courbure de la section normale d'où

i cosO

ce qu'il fallait prouver.

On peut énoncer le théorème de Meusnier sous une autre forme. Soient O, le centre de courbure de la section normale, S la sphère qui touche la surface au point M et qui a pour centre Ot. Toute courbe (C) tangente à MT au point M, et située sur la surface, a pour cercle de courbure en M le petit cercle suivant lequel son plan oscillateur coupe la sphère S.

Remarque. — Ce théorème tombe en défaut quand la courbe (C) a son plan oscillateur en M langent à la surface. La détermination du rayon de courbure présente alors plus de difficulté ; en ce qui concerne le cas particulier d'une ligne asympto tique, nous nous contenterons d'énoncer, sans démonstration. L'élégant théorème suivant, dû à Beltrami :

Le rayon de courbure d'une ligne asymplotique est égal