CHAPITRE VII. — LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

(iiix deux tiers du rayon de courbure de la section faite par le plan tangent.

( )n ne considère ici, bien entendu, que celle des deux branches de la section tangentielle qui touche la ligne asvmptotique.

Courburetangentielle. Lignes géodésiques. — Si l'on projette

lit courbe (G), non plus sur le plan de la section normale tangente,

mais sur le plan langent en M, la courbure de la projection prend

le nom de courbure tangentielle; elle a pour valeur, en conser-

1 ■ / » 1 sin 0 , 1 a

vant les notations précédentes, — ^— ; cette valeur reste la même

quand on remplace la surface par la dé\eloppable qui lui est circonscrite suivant (C) et nous avons vu (§33) qu'elle se conserve quand on applique cette développable sur un plan. On en conclut que la courbure tangentielle (Y une courbe tracée sur une surface est égale à celle de la ligne plane suivant laquelle se transforme cette courbe quand on applique su?- un plan la développable circonscrite. Pour celte raison, cette courbure relative est quelquefois désignée sous le nom de courbure de développement. On lui donne aussi, et plus généralement en la considérant à un autre point de vue (voir Ghap. XXI), le nom de courbure géodésique.

Nous avons vu également (loc. cit.) qu'une ligne géodésique ou de plus courte distance entre deux quelconques de ses points est caractérisée, sur une développable, par la propriété d'avoir une courbure tangentielle constamment nulle. Cette proposition s'étend sans difficulté à une surface quelconque. Considérons en effet sur une ligne géodésique L deux points M, M' fixes et très voisins, si l'on remplace l'arc de L, dont les extrémités sont M et M', par tout autre arc de courbe allant, sur la surface, du point M au point M\ la longueur s de cet arc ne pourra qu'augmenter et il en sera de même de l'excès de cet arc sur la longueur c de la corde fixe MM'. Cette quantité est, comme nous l'avons vu, du même ordre de grandeur c3 et en supposant c suffisamment petit, passe par son

c3 minimum en même temps que sa partie principale > R étant le

rayon de courbure de la ligne modifiée. Or si nous appelons R„ le

rayon de courbure normale au point M, qui est le même pour

I >o PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

toutes les courbes en question, 8 l'angle du plan osculateur variable avec le plan déterminé par la normale en M et la tangente à L au point i\I ; on a. d'après le théorème de Meusnier, R = R7/cosG.La différence s- — c atteint donc sa plus petite valeur lorsque cos G est le plus grand possible, c'est-à-dire pour G = o. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — En tout point d'une ligne géodésique, sur une sur/ace quelconque, la courbure tangentielle est nulle, le plan osculateur étant normal à la surface.

Noie sur quelques propriétés des lignes asy.mptotiques.

Les plans tangents à une surface donnée (S) forment, en général, un ensemble doublement infini. Les surfaces développables, dont le plan langent dépend d'un paramètre unique font exception, el il y a lieu de faire à ce sujet les remarques suivantes :

Il n'existe, en général, sur une surface donnée, aucune courbe le long de laquelle le plan tangent soit invariable ; cela ne peut arriver qu'exceptionnellement pour une courbe isolée, telle que l'un des parallèles extrêmes d'un tore. Dans le cas des surfaces développables, au contraire, cette propriété appartient à toutes les génératrices; la réciproque est vraie et peut s'énoncer de la manière suivante :

Théorème. — Si une surface admet une famille de génératrices telles que, le long de chacune d'elles, le plan tangent soit invariable, ces génératrices sont des droites et la surface est développable.

Gela est presque é\ ident ; soit en effet t le paramètre dont dépend la génératrice considérée G ; le plan P tangent à la surface suivant G dépend lui-même uniquement de ce paramètre t\ il admet donc, quand t varie, une caractéristique (D). Or il reste tangent à S lorsque / varie, c'est-à-dire quand on passe d'une génératrice à une autre: supposons que, dans ce passage, le point de contact décrive un chemin infiniment petit MM'; d'après une remarque dont nous avons fait usage à plusieurs reprises, cette caractéristique contient le point M et, cela, quelle que soil la position de ce