CHAPITRE VII. — LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

point sur la génératrice ; en d'autres ternies, tous les points de G appartiennent à D. ce qui démontre le théorème.

Lignes asymptotiques. — Une ligne asymptotique est une ligne telle que son plan osculateur est constamment tangent à la surface; en d'autres termes elle coïncide avec l'arête de rebroussement de la développable circonscrite.

Ceci posé, imaginons que toutes les développables circoncrites suivant les lignes asjmptotiques d'une même famille aient en commun une certaine courbe (T). Je dis que ces lignes asjmptotiques sont nécessairement rectilignes. Soient, en effet, g l'une d'elles, ]x le point où la tangente en m rencontre la courbe (T); il peut se faire

FiK. 63.

que |x soit invariable quand m varie; la ligne g dont toutes les tangentes passent par un même point est alors évidemment une droite. Supposons que p. varie avec m; le plan osculateur de G en m touche la développable engendrée par my. en chacun des points de cette droite ; ce plan contient donc la tangente u.z à la courbe T qui est supposée située sur cette développable.

Si maintenant nous supposons que la propriété indiquée ait lieu pour toutes les lignes asymptotiques d'une même famille, on voit que tous les plans tangents à (S) seront tangents à une même courbe Y. Ces plans tangents forment donc un ensemble simplement infini et, d'après le théorème précédent, la surface considérée est développable.

Remarque. — Dans ce dernier cas, les deux familles de lignes asymptotiques se confondent; si donc la propriété énoncée appartient à l'une seulement des deux familles dasymptotiques, il faut que le point u. soit invariable sur (T) pour chaque génératrice G et varie seulement quand on passe de cette génératrice à la suivante.

l3->. PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

La surface (S) sera donc une surface réglée gauche passant par celle courbe T. Si l'on remarque en outre que toute surface doublement réglée est une quadrique on peut énoncer les deux propriétés suivantes :

Théorème. — Si les développables circonscrites, correspondant à une même famille de lignes asymp touque \s, se coupent suivant une même courbe (T) ces lignes asymptotiques sont des droites.

Corollaire. — Si les deux familles de développables circonscrites suivant les deux familles de lignes asymptotiques passent respectivement par deux courbes fixes T et V la surface considérée est une surface du second ordre.

Remarque. — Il est évident qu'on peut, dans ce qui précède, remplacer la courbe fixe T par une surface fixe 2 à laquelle les développables considérées devraient être circonscrites. Il est clair qu'on peut aussi dans le deuxième énoncé supposer que les deux courbes T, Y' soient distinctes ou confondues.

Surface dont tous les points sont des ombilics. — Appliquons ce qui précède au cas où l'une des deux courbes, T par exemple, est le cercle de l'infini; la surface est alors d'après ce qui précède une surface réglée à génératrices isotropes. Si nous supposons que cette surface soit réelle, elle sera doublement réglée et, comme elle doit contenir le cercle de l'infini, ce sera une sphère. Donc :

Théorème. — La sphère est la seule surface réelle dont tous les points sont des ombilics.

Surfaces minima. — La condition pour que l'indicatrice, en un point quelconque d'une surface, soit une hyperbole équilatère s'exprime par une condition unique, d'où il suit que sur toute surface existe une ligne de points hyperboliques en chacun desquels les deux courbures principales sont égales et opposées. Nous appelons surface minima une surface sur laquelle cette ligne est indéterminée, et dont, par conséquent, les deux familles de lignes asymptotiques se coupent partout à angle droit.