CHAPITRE VII. — LIGNES TRACÉES SI R UNE SURFACE
Nous aurons à revenir plus lard sur La théorie des surfaces minima.
Pour le moment nous nous contenterons de déterminer deux d'entre elles qui présentent un intérêt particulier.
1" Surface mini ma de révolution. — Soient lYl un point quelconque <\\\ méridien situé dans le plan de la figure {fig- 64 >, MN
Fi g. 64.
la normale limitée à l'axe île révolution : M\ est égal, d'après le théorème de Meusnier, au rayon de courbure normal relatif au parallèle du point M. Le second rayon de courbure principal est égal au rayon de courbure MG du méridien. Si donc la surface est minima, les deux vecteurs M.N, M G sont égaux et de signes contraires et le méridien est une chaînette. Donc :
La surface de révolution minima est celle qu'engendre une chaînette en tournant autour de sa, base.
On donne à celte surface le nom iïalysséidc .
2° Surface minima réglée. — Soient M un point quelconque
Kig. G.3.
fcA
d'une surface réglée i fig. 65 >. < G) et (c) la génératrice rectiligne
'MKMIKRK l'ABTIK. — CHAPITRE Vil.
el la courbe asjmptotique qui passent en ce point, MT la tangente à (c). Le plan TMG tangent à la surface est oscillateur à (c) si donc l'angle TMG est droit, G est la normale principale de la courbe G, et, si cette même propriété s'étend à toutes les asymptotiques, les droites G seront normales principales d'une infinité de lignes. Ces lignes seront des hélices (p. i i3) et l'on conclut que :
La seule surface réglée minima est Vhélicoïde gauche à plan directeur.
îNous arrêterons ici les applications de la méthode infinitésimale au point de vue purement géométrique, et nous allons reprendre, par les procédés de l'Analyse, l'étude des lignes et des surfaces. La méthode analytique paraîtra, sans doute, plus régulière et d'un maniement plus facile ; cependant celle que nous avons suivie et qui consiste à envisager les choses en elles-mêmes, présente aussi de sérieux avantages dont le principal est de faire mieux pénétrer le sens des théorèmes et les détails de leur démonstration.
