PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES PLANES
Coordonnées rectangulaires : tangente, normale. — Formules DE QUADRATURE ET DE RECTIFICATION. COURBURE ;
RAYON ET CENTRE DE COURBURE : EXPRESSIONS DIVERSES DE LA COURBURE. LlEU DES CENTRES DE COURBURE; DÉVELOP- PÉES. — Courbes planes considérées comme enveloppes de droites. — Les mêmes formules en coordonnées polaires.
38. Nous supposerons toujours la direction positive de la normale \IN, en un point M quelconque de la courbe, située dans la région de la concavité en <■<■ point M; nous prendrons arbitrairement la direction Ml de la tangente et nous rapporterons la courbe à un système d'axes rectangulaires Ox, Oy lois que les
angles x Oy, TMN aient la même disposition. Dans ces conditions, si nous appelons a l'angle de MT avec Ox la normale AIN feraavec
ce même axe vin angle «'cal à y.-\--- Ces conventions demeureronl
valables jusqu'à ce que le point M. en se déplaçanl sur la branche de courbe considérée, vienne coïncider avec un point pour lequel la concavité changerai! <!<- sens.
[36 DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU (iAUCIIES.
Tangente, normale. — D'après cela, si l'on désigne par s la valeur algébrique de l'arc A M compté depuis une origine fixe A et qu'on projette sur ( )x et < \v la corde infiniment petite MM', on a immédiatement
dx = ds cosa, dy = ds sina.
ds- = dx- -+- dy*-
Lan g a =
dy dx
Remarque. — Soient t. n les points où la tangente et la normale rencontrent 0#, PM l'ordonnée du point M; on a souvent à considérer l'un ou l'autre des quatre segments Mt, M«, P/, Pn aux-
Fig. 66.
quels on donne le nom de tangente, normale, sous-tangente et sous-normale; la figure 66 met en évidence pour ces quatre segments, les expressions suivantes :
( Pt = S, = — 7 cota
ma
cosa
oot a.
P„ = S„ = y tang v.
On vérifierait aisément la généralité de ces formules en discutant les diverses dispositions qu'on peut donner à la courbe par rapport aux axes de coordonnées, et en se conformant aux conventions adoptées.
Application. — < h\ peut se proposer de déterminer la courbe
pour laquelle un des quatre segments que nous venons de définir conserve une valeur constante.
