V -7— = ", y- — iax -r- C

- dx J

La courbe est donc une parabole de paramètre a, ayant pour axe < ).r.

2 ' ( 'ourbe dont la sous-tangente est constante et égale à a. — ( )n a pour l'équation de cette courbe

1 dx h a dy — o, y = c e " ,

C étant une constante arbitraire.

3° Courbe dont la normale est constante et égale à a. — On

y -t- a cosa = o,

d'où en différentiant, puis intégrant :

dx tanga — àsinarfa = o, dx — a cosa cfa, .r — a-0=^sina,

./„ itant une constante arbitraire.

( )u en déduit

La courbe est donc un cercle de rayon a ayant son centre en un point quelconque de < )./■.

i" Courbe aux tangentes égales (tractrice). — Si la tangente T doit rester constamment égale à a, on a, pour l'équation différentielle de la courbe,

1 ! 1 y -t- a sina = o.

<l où en différentiant

dx tanga -1- a cosa dy. = o,

, doi.

dx -f- a cos2 a -: = 0 ;

Mil a

d où, en intégrant et en appelant ,/0 une constante arbitraire.

1 1 ) x — xl} = — a cos a — a Log tang - •

Les équations (3) et (4) donnent les valeurs de x et de y en fonction du paramètre a. Elles sont identiques à celles que nous avons obtenues au paragraphe 14, dans l'étude géométrique de la trac tri ce.

Rectification et quadiiatuke. — La dernière des formules (i) permet de rectifier une courbe plane dans le cas général où les coordonnées rectangulaires de chaque point sont exprimés en fonction d'un paramètre t. Nous aurons souvent l'occasion d'en faire usage et les Traités d'Analyse fournissent de nombreux exemples de rectifications de courbes.

Ouant à l'aire d'une figure plane, limitée par une ou plusieurs lignes droites ou courbes définies analytiquement, on pourra tou-

Fig. ti7.

jours l'évaluer en appliquant une ou plusieurs fois la formule qui donne l'aire d'un trapèze curviligne par une intégrale définie. Nous ferons seulement la remarque suivante relativement à l'aire du secteur triangulaire compris entre un arc AB de courbe et les deux rayons OA, OB. L'aire du triangle rectiligne infiniment

petit OMJVF a pour valeur ~{xy' — yx')^, on a donc, en désignant

par S l'aire du secteur total,

Comme application considérons une ellipse définie par les deux

équations

j' = acos/, y = bs'u\t.

L'aire du secteur compris entre les deux rayons centraux de