CHAPITRE VIII. — COURBES PLANES EN GÉNÉRAL. 1 3g

paramètres ttJ t{), aura pour valeur

V= / a6(cos2/-f- sin2/) dt — — (/,— /„ i. ** «-7/0 ''

Courbure. — La courbure totale de l'arc MM' (fig- 66) est me- ' surée par Y angle de contingence que forment les tangentes en M et

en M'; cet angle a évidemment pour valeur x' — a et le rapport ■ z-rz-y

est égal à la courbure moyenne de cet arc MM'. La limite de cette courbure moyenne est donc égale, quand M' se rapproche indéfi-

1 AT < dO. 11'- i

niment de M, a -j- et en le désignant par -~ on a

(D' R ds

Les formules (i) et (5) permettent de résoudre toutes les questions relatives à la courbure des courbes planes; R est ce qu'on appelle, ainsi que nous l'avons vu (§ 6), le rayon de courbure au point M.

Cherchons par exemple quelle est la courbe plane dont la courbure est constante; en intégrant les deux équations

( G ) dx = R cosa d%, dy = R sina û?a,

où l'on suppose R constant, on obtient immédiatement x = x0-t- R sina, y = y0 — Rsina,

./'o et y0 étant des constantes arbitraires. La courbe cherchée est donc un cercle ayant pour centre un point quelconque du plan et pour rayon l'inverse de la courbure donnée.

Problème. — Trouve]' une courbe plane dont le rayon de courbure soit proportionnel à la normale N.

Soit k le coefficient de proportionnalité. Les équations du problème sont, d'après les relations (G) et la seconde des relations (a),

dx = — ky d*. dy = — k y - d%,

J j j cosa

La seconde s'intègre immédiatement et donne, en appelant a

i4" DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.

une constante,

y = a cos*« ;

d'où, en portant dans la première et appelant x0 une nouvelle constante,

x = x0 — ak I cos7' a ch..

Les coordonnées de chaque point sont ainsi exprimées en fonction d'un paramètre a. On peut prendre pour la dernière intégrale l'une quelconque des fonctions primitives de cosAa, car une constante arbitraire ajoutée à la valeur de x n'a d'autre influence qu'un déplacement de l'origine des coordonnées sur Ox.

Remarque. — En donnant des valeurs simples au coefficient h la quadrature se fait immédiatement et l'on obtient des courbes remarquables, savoir :

Pour k = i un cercle avant son centre sur Ox;

Pour k = — 2 une parabole ayant Ox pour directrice:

Pour k = — i une chaînette ayant Ox pour base ;

Pour /.' = 2 une cycloïde engendrée par un point d'un cercle de rayon constant qui roule sans glisser sur Ox.

Le calcul, dans ces deux premiers cas, est très simple; nous ne nous y arrêterons pas; nous reviendrons, au Chapitre suivant, sur la démonstration, pour la chaînette et la cycloïde.

Expressions diverses du rayon de courbure. — La formule (5) qui traduit simplement la définition même de la courbure est susceptible de prendre plusieurs formes qu'il est bon de connaître.

Si I on y remplace l'angle a par sa valeur arc tang -jf- - ds par

(dy--{-dy- )* on obtient d'abord la formule générale

, ., i d.r d- y — dy d- X (8) ïï= Z £,

I dr- -+- dj- >'-'

dans laquelle x et y sont des fonctions du paramètre t qui définit un point quelconque de la courbe. Si Ion suppose x—t, en d'autres termes si la courbe est définie par une équation de la forme y =/{ x i, on doit faire dans celte dernière formule </-.r = o