CHAPITRE VIII. — COURBES PLANES EN GÉNÉRAI.. I f

et elle devienl alors

ii + J'-|!

les accents désignant des dérivées prises par rapports à x.

La formule (8) prend une forme très simple quand on prend pour variable lare s ; on a alors

/dx\z /dy \ ds / "*" \ ds

d'où

dx d2x dy d2 y ds ds2 ds ds'1

la formule (8) devient alors

i dx d2 y dy d2.r

R ds ds2 ds ds-

et, en élevant au carré,

-L-ïfflf.Y ((lv^\ \(clixY , /^2./\-] (dxd2x , dy d2y\2 { " ' R» ~ \\ds) ~*~ \ ds ) J [\ ds2 / + \ ds* ) J \rfs ds* + rf$ rfs* J '

d'où

On peut enfin obtenir une expression très simple de R en introduisant la normale N = : — • On a, en effet, en prenant pour

cos a * l

variable indépendante a:,

d'où

d'où enfin

y — tanga, y = — -j— ;

J J cos2a dx

"^ cos- a ds cos a R cos3 a'

^ cos^a y y

(^ette dernière formule est commode quand on veut déterminer une courbe plane par une relation constante entre le rayon de courbure et la normale. Proposons-nous, par exemple, de trouver la courbe plane pour laquelle le rayon de courbure est proportion-

nel au cube de la normale. En désignant par k le coefficient de proportionnalité, l'équation différentielle est, d'après la formule (12),

ce qui peut s'écrire

y3 y' dy + k dy = o ;

d'où, en intégrant, et appelant c une constante arbitraire

0 >■■> 7 Y dy j

V2y2=cy--ï-A\ - = dx \

s/cyïTlc

d'où enfin, xt) étant une constante arbitraire :

c(x — x0) = \/cjK2-f- k.

La courbe est donc une conique ayant pour axe Ox. Son équation se ramène à la forme

y"1 = ipx ■+- qtP-,

en choisissant x0 de telle sorte que k = c2xl; on en conclut

p = — cx0 — — \fk,

d'où k = p-\ le rapport constant k est égal au carré du paramètre.

Gejvtre et rayon de courbure, développée. — Portons sur la normale MN, dans le sens positif, un segment MM, égal à R. Le point M, est, ainsi que nous l'avons vu, le centre de courbure au point M. (première Partie, § 6). En décrivant de M, comme centre un cercle passant par ce point M on a le cercle de courbure. Si le point M décrit la courbe donnée (C) le point M, décrit une seconde courbe G, qui est la développée de la première. Ce qui précède permet d'obtenir immédiatement les équations de la développée. Les coordonnées se, y de M, sont en effet

l Xi = x -+- R cos ( ha) = x — Rsina,

I yt = y -+- R sin ( — -+- a J =y-\-Rco*0L

et se trouvent ainsi exprimées en fonction de la variable a. En différenciant ces équations, désignant par a, l'angle de la tangente à