CHAPITRE VIII. — COURBES PLANES EN GÉNÉRAL. r 4"i

la développée axec Ox, par ,v, l'arc correspondant de cette même courbe on a

dxx = dsx cosa, = d.r — llcosa d% — rfRsina, dyi = ds\ sinaj = ds sinx — R sinarfa -f- <a?R cosa,

ou, en remplaçant ds par R do. et réduisant,

ds\ cosa, = — r/R sina, cfo, sin ai = dR cosa, ds\ = rfR*.

Supposons qu'on ait pris pour sens du mouvement positif surC

Fi g. 68.

celui dans lequel le rayon de courbure va en croissant en sorte

que -r- soit positif; les deux sens de mouvement se correspondent

alors sur la courbe (C) et sur sa développée, à la condition de prendre ds{ = -+- «?R et l'on voit que les formules précédentes se réduiront à

s{ étant lare A, M,, correspondant à l'arc AM (fi g. 68).

On déduit de ces formules les conséquences développées au paragraphe 13.

On voit de plus que, en raison de la convention précédente, la

tangente à la développée est dirigée suivant la normale de la développante et dans le même sens.

Remarque. — Si l'on veut étudier directement et sans passer par l'étude de la courbure la développée d'une courbe (C) il sera avantageux de la considérer non comme le lieu des centres de courbure, mais comme l'enveloppe des normales.

39. Courbe plane considérée comme l'enveloppe de ses tangentes. — Lorsqu'une droite se déplace de manière à rester tangente à une courbe donnée, sa distance à l'origine est une fonction donnée p(ot) de l'angle qu'elle fait avec Ox, l'équation de cette droite

mobile est alors

x sina — y cosa = p( a),

et l'on a, pour l'équation de la normale,

x cosa -+- y sina = q i a ).

Les coordonnées de chaque point M sont ainsi exprimées, un fonction d'un même paramètre a, par les formules

x = p sina -+- q cosa, y = — p cosa -+- q sin a.

( )n a, en les dillérentiant,

ds cosa = dx = dp sina -+- dq cosa -+- \ p cosa — q sina) du, ds sina = dy = — dp cosa -+■ dq sina -+- ( p sina -+- q cosa ) da. :

d'où

i ds — dq — p dot. ) cos a -+- i q dn — dp ) sin a = o,

(ds — dq — P da.) si n a — ( q dy. — dp ) eus a = o ;

d'où l'on déduit

dp ds d-p

di. dci. rfaa

La première exprime que la courbe esl le lieu des intersections successives de ses tangentes. La seconde donne une expression remarquable du rayon de courbure. On a, en résumé, pour l« !S équations de la normale et de la tangente.

x sina — y cosa = />(a), x cosa -h y sina = />'(a),