CHAPITRE IX. — COURBES PLANES PARTICULIERES

D'après l'équation (2) y' croit constamment de 0 à + x. La courbe se compose d'une brandie parabolique dont la direction asymptotique est celle de OY. La tangente au sommet A {fig. 70 )

Fie. -<>

est parallèle à OX. Enfin l'équation (3) montre que y" ne s'annule jamais et reste toujours positif, la courbe tourne sa concavité constamment vers les y positifs ; la direction de la normale au point A est donc AY, et par suite la tangente en ce point est parallèle à la direction positive de OX. On doit donc, d'après nos conventions, prendre pour sens du mouvement positif sur la courbe celui dans

lequel x va en croissant ; en d'autres termes — est positif.

1 as r

On a d'ailleurs

ds- = (1 -+- y'- ) dx2 = —y- \e" -+- e " ) ,

d'où, en tenant compte de la remarque précédente,

ds = - \ e"

(4) d'où

dx = — dx, a

Tangente et normale. — La formule (5) conduit à la construction de la tangente donnée au paragraphe 24. On mène par le

pied P de l'ordonnée une tangente MK au cercle de rayon a et de centre M; la tangente cherchée est parallèle à PR; la normale en M coïncide avec MR. Le segment N de la normale Mn limitée à OX est donnée par la formule

cosa a

Courbure. — Lune quelconque des formules du Chapitre précédent nous donne le rayon de courbure; la formule (11) par exemple donne

y eus* a y

donc le rayon de courbure est égal et de signe contraire à la normale.

La réciproque est exacte (§39) : toute courbe plane jouissant de cette propriété est une chaînette ayant pour base OX. On a en effet, pour une telle courbe,

ds y , .

( 7 ) — - = — - — , a y cos a — y sin a ai — <>.

di cosa

ëquation'qui s'intègre immédiatement et donne

y cosa = a, a étant une constante arbitraire. L'équation (j) donnerait

dx = ydot.= di :

cosa

d'où en intégrant et désignant par .r0 une constante arbitraire

x — .rn / r. i\

()u en déduirait aisément pour l'équation de la courbe

Développée. — Le centre de courbure M, correspondant au