CHAPITRE IX. — COURBES PLANES PARTICULIERES

point M a pour coordonnées

X\ — x — R sin a = .r — ' — sin a, a

yx = y -+- R cas a = y -+- '■ — cos a = iy.

Ces deux formules, dont la seconde est évidente géométriquement, permettent d'exprimer .r, et y{ en fonctions de .r seul ou, si l'on veut, en fonction du paramètre a.

Quadrature et rectification de La chaînette. Tractrice. — Les propositions relatives à la quadrature et à la rectification de la chaînette, démontrées géométriquement au paragraphe li, se déduisent immédiatement des formules qui précèdent. Nous nous contenterons de les rappeler ici.

Soient H, K les projections du pied P de l'ordonnée MP sur la tangente et sur la normale en M :

i" Le quadrilatère curviligne VOMP et le rectangle MHPK ont la même aire ;

2° L'arc AM et le segment rectiligne MH ont la même longueur;

3" Il résulte de cette dernière propriété que le lieu du point H est une développante particulière de la chaînette, cette développante étant normale en H à MH est tangente à HP ; et le segment HP étant égal à a conserve une valeur constante. Le lieu du point H est donc une courbe aux tangentes égales, c'est-à-dire une tractrice ayant OX pour asymptote.

i2. Ellipse. — Gomme exemple simple de courbe définie par une représentation paramétrique, prenons l'ellipse rapportée à ses axes et ayant pour équations

(8) x = a cos /, y = b sint,

d'où

(9) dr = — a sin t dt, dy = b cos t dt,

ds*= ( «2 sin2/ -h 62 cos2 t)dt*.

A cause de la symétrie il suffit, pour avoir la courbe entière, de

[ Yj DEUXIEME PARTIE. — COURBES 1>LANES OU GAUCHES.

fiiin' varier l de o ;> - {fig> 71 )• Au point A (t = o) la concavité

Fis:. -1.

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